Zadanie maturalne nr 2, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Rozwiązanie zadania
Mamy ciąg arytmetyczny:
\( (a, b, c) \)
W ciągu arytmetycznym różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama, możemy więc zapisać, że:
\( b-a=c-b \)
Mamy także ciąg geometryczny:
\( (a, b+1, 2c) \)
W ciągu geometrycznym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest taki sam, zatem:
\( \frac{b+1}{a}=\frac{2c}{b+1} \)
\( (b+1)^2=2ac \)
Z trzecim warunkiem z zadania mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
\( \begin{cases} b-a=c-b\\(b+1)^2=2ac\\3a+b+3c=77 \end{cases}\)
\( \begin{cases} a+c=2b\\(b+1)^2=2ac\\3(a+c)+b=77 \end{cases}\)
Podstawiając pierwsze równanie do trzeciego otrzymujemy:
\( 3\cdot 2b+b=77 \)
\( 7b=77 \)
\( b=11 \)
Z pierwszego równania mamy:
\( a+c=2\cdot 11 \)
\( a=22-c \)
Wstawiając powyższe równanie i wartość b=11 do równania drugiego, otrzymamy:
\( (11+1)^2=2(22-c)\cdot c \)
\( 144=2(22c-c^2)/:2 \)
\( c^2-22c+72=0\)
\( \Delta=484-288=196\)
\( (\sqrt{\Delta}=14\)
\( c_1=\frac{22-14}{2}=4 \)
\( c_2=\frac{22+14}{2}=18 \)
Mamy więc dwa przypadki:
\( a_1=22-c_1=18\)
\( a_2=22-c_2=4\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-09, ZAD-4630
Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

Pokaż rozwiązanie zadania

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy


Pokaż rozwiązanie zadania

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości x i y ciąg

Pokaż rozwiązanie zadania

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem

Pokaż rozwiązanie zadania

W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
A. q=1/3
B.
![q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}](matematyka/wzory/m2015/13_1.gif)
C.
![q=\sqrt[3]{3}](matematyka/wzory/m2015/13_2.gif)
D. q=3
Pokaż rozwiązanie zadania

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1, w którym a1=√2, a2=2√2, a3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
- an=(√2)n
- an=2n/√2
- an=(√2/2)n
- an=(√2)n/2
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy
A. 1/3
B. 1/√3
C. 3
D. √3
Pokaż rozwiązanie zadania