Zadanie maturalne nr 2, matura 2018 (poziom rozszerzony)


Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy ciąg arytmetyczny:

\( (a, b, c) \)

W ciągu arytmetycznym różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama, możemy więc zapisać, że:

\( b-a=c-b \)

Mamy także ciąg geometryczny:

\( (a, b+1, 2c) \)

W ciągu geometrycznym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest taki sam, zatem:

\( \frac{b+1}{a}=\frac{2c}{b+1} \)

\( (b+1)^2=2ac \)

Z trzecim warunkiem z zadania mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

\( \begin{cases} b-a=c-b\\(b+1)^2=2ac\\3a+b+3c=77 \end{cases}\)

\( \begin{cases} a+c=2b\\(b+1)^2=2ac\\3(a+c)+b=77 \end{cases}\)

Podstawiając pierwsze równanie do trzeciego otrzymujemy:

\( 3\cdot 2b+b=77 \)

\( 7b=77 \)

\( b=11 \)

Z pierwszego równania mamy:

\( a+c=2\cdot 11 \)

\( a=22-c \)

Wstawiając powyższe równanie i wartość b=11 do równania drugiego, otrzymamy:

\( (11+1)^2=2(22-c)\cdot c \)

\( 144=2(22c-c^2)/:2 \)

\( c^2-22c+72=0\)

\( \Delta=484-288=196\)

\( (\sqrt{\Delta}=14\)

\( c_1=\frac{22-14}{2}=4 \)

\( c_2=\frac{22+14}{2}=18 \)

Mamy więc dwa przypadki:

\( a_1=22-c_1=18\)

\( a_2=22-c_2=4\)

ksiązki Odpowiedź

a=18, b=11, c= 4 lub a=4, b=11, c=18. Mamy dwa ciągi geometryczne:(18, 12, 8) lub (4, 12, 36)

© medianauka.pl, 2023-01-09, ZAD-4630

Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: (2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{\sqrt{2}}, a siódmy wzór. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg (5,x,y,\frac{1}{25}) jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem a_n=(\frac{1}{2x-371})^n, dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+... jest zbieżny.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
C. q=\sqrt[3]{3}
D. q=3


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A. frac{5}{2}
B. frac{2}{5}
C. frac{3}{2}
D. frac{2}{3}


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2018

Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest

  1. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
  2. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
  3. geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
  4. geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2018

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1, w którym a1=√2, a2=2√2, a3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

  1. an=(√2)n
  2. an=2n/√2
  3. an=(√2/2)n
  4. an=(√2)n/2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2019

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy

A. 1/3

B. 1/√3

C. 3

D. √3



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.