Strona główna » Matematyka » Właściwości ciągu arytmetycznego

Zadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu

Dla jakich wartości x i y ciąg $(5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5})$ jest ciągiem arytmetycznym?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_4=a_1+(4-1)r=\frac{1}{5} \\ 5+3r=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ 25+15r=1 \\ 15r=-24/:15 \\ r=-\frac{24}{15} \\ r=-\frac{8}{5} \\ r=-1\frac{3}{5}$
$a_2=x=a_1+(2-1)r=5+r=5-1\frac{3}{5}=3\frac{2}{5} \\ a_3=y=5+2r=5-2\cdot 1\frac{3}{5}=5-2\cdot \frac{8}{5}=5-\frac{16}{5}=5-3\frac{1}{5}=1\frac{4}{5}$
$x=3\frac{2}{5}, \ y=1\frac{4}{5}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest arytmetyczny, jeżeli różnica ciągu arytmetycznego r jest stała (różnica miedzy każdymi dwoma kolejnymi wyrazami ciągu). Musimy więc znaleźć tę różnicę. Możemy to zrobić, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Znamy pierwszy oraz czwarty wyraz ciągu. Skorzystajmy z tego.

Czwarty wyraz ciągu jest równy 1/5, pierwszy wyraz ciągu to 5. Podstawiamy więc obie liczby do powyższego wzoru i wyznaczamy r.

$a_4=a_1+(4-1)r=\frac{1}{5} \\ 5+3r=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ 25+15r=1 \\ 15r=-24/:15 \\ r=-\frac{24}{15} \\ r=-\frac{8}{5} \\ r=-1\frac{3}{5}$

Z tego samego wzoru na n-ty wyraz ciągu znajdziemy x (drugi wyraz ciągu) oraz y (trzeci wyraz ciągu).

$a_2=x=a_1+(2-1)r=5+r=5-1\frac{3}{5}=3\frac{2}{5} \\ a_3=y=5+2r=5-2\cdot 1\frac{3}{5}=5-2\cdot \frac{8}{5}=5-\frac{16}{5}=5-3\frac{1}{5}=1\frac{4}{5}$