Nauka » Matematyka » Ciąg arytmetyczny

Zadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu

Dla jakich wartości x i y ciąg $(5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5})$ jest ciągiem arytmetycznym?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_4=a_1+(4-1)r=\frac{1}{5} \\ 5+3r=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ 25+15r=1 \\ 15r=-24/:15 \\ r=-\frac{24}{15} \\ r=-\frac{8}{5} \\ r=-1\frac{3}{5}$
$a_2=x=a_1+(2-1)r=5+r=5-1\frac{3}{5}=3\frac{2}{5} \\ a_3=y=5+2r=5-2\cdot 1\frac{3}{5}=5-2\cdot \frac{8}{5}=5-\frac{16}{5}=5-3\frac{1}{5}=1\frac{4}{5}$
$x=3\frac{2}{5}, \ y=1\frac{4}{5}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Ciąg jest arytmetyczny, jeżeli różnica ciągu arytmetycznego r jest stała (różnica miedzy każdymi dwoma kolejnymi wyrazami ciągu). Musimy więc znaleźć tę różnicę. Możemy to zrobić, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Znamy pierwszy oraz czwarty wyraz ciągu. Skorzystajmy z tego.

Czwarty wyraz ciągu jest równy 1/5, pierwszy wyraz ciągu to 5. Podstawiamy więc obie liczby do powyższego wzoru i wyznaczamy r.

$a_4=a_1+(4-1)r=\frac{1}{5} \\ 5+3r=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ 25+15r=1 \\ 15r=-24/:15 \\ r=-\frac{24}{15} \\ r=-\frac{8}{5} \\ r=-1\frac{3}{5}$

Z tego samego wzoru na n-ty wyraz ciągu znajdziemy x (drugi wyraz ciągu) oraz y (trzeci wyraz ciągu).

$a_2=x=a_1+(2-1)r=5+r=5-1\frac{3}{5}=3\frac{2}{5} \\ a_3=y=5+2r=5-2\cdot 1\frac{3}{5}=5-2\cdot \frac{8}{5}=5-\frac{16}{5}=5-3\frac{1}{5}=1\frac{4}{5}$

Odpowiedź

$x=3\frac{2}{5}, \ y=1\frac{4}{5}$

Zadania podobne

Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg $a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}$ jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i $\sqrt{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm³. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n² + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. a_n=-3n+5
B. a_n=n-3
C. a_n=-n+3
D. a_n=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania