Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i \sqrt{7}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\begin{cases}a_1+6r=\sqrt{7} \\ a_1+4r=7/\cdot (-1) \end{cases} \\ \begin{cases}a_1+6r=\sqrt{7} \\ \underline{-a_1-4r=-7} \end{cases} \\ 2r=\sqrt{7}-7/:2 \\ r=\frac{\sqrt{7}-7}{2}
a_1+4r=7 \\ a_1=7-4r \\ a_1=7-4\cdot \frac{\sqrt{7}-7}{2}\\ a_1=7-2(\sqrt{7}-7) \\ a_1=7-2\sqrt{7}+14 \\ a_1=21-2\sqrt{7}

a_9=a_1+8r \\ a_9=21-2\sqrt{7}+8\cdot \frac{\sqrt{7}-7}{2} \\ a_9=21-2\sqrt{7}+4(\sqrt{7}-7) \\ a_9=21-2\sqrt{7}+4\sqrt{7}-28 \\ \underline{a_9=2\sqrt{7}-7}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy dane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego. Wzór na n-ty wyraz ciągu wygląda następująco:

a_n=a_1+(n-1)r

Możemy więc napisać:

a_5=a_1+(5-1)r=a_1+4r \\ a_7=a_1+(7-1)r=a_1+6r

Aby obliczyć dziewiąty wyraz, musimy znać a1 oraz r. Mamy więc dwie niewiadome. Wartości a5 i a7 znamy z warunków zadania, więc rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników:

\begin{cases}a_1+6r=\sqrt{7} \\ a_1+4r=7/\cdot (-1) \end{cases} \\ \begin{cases}a_1+6r=\sqrt{7} \\ \underline{-a_1-4r=-7} \end{cases} \\ 2r=\sqrt{7}-7/:2 \\ r=\frac{\sqrt{7}-7}{2}

Otrzymany wynik podstawiamy do drugiego równania układu równań po wyznaczeniu z niego a1.

a_1+4r=7 \\ a_1=7-4r \\ a_1=7-4\cdot \frac{\sqrt{7}-7}{2}\\ a_1=7-2(\sqrt{7}-7) \\ a_1=7-2\sqrt{7}+14 \\ a_1=21-2\sqrt{7}

Możemy teraz obliczyć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_9=a_1+8r \\ a_9=21-2\sqrt{7}+8\cdot \frac{\sqrt{7}-7}{2} \\ a_9=21-2\sqrt{7}+4(\sqrt{7}-7) \\ a_9=21-2\sqrt{7}+4\sqrt{7}-28 \\ \underline{a_9=2\sqrt{7}-7}

ksiązki Odpowiedź

a_9=2\sqrt{7}-7

© medianauka.pl, 2010-01-09, ZAD-496





Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg (5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5}) jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.