Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - ciąg arytmetyczny


Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i \sqrt{7}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\begin{cases}a_1+6r=\sqrt{7} \\ a_1+4r=7/\cdot (-1) \end{cases} \\ \begin{cases}a_1+6r=\sqrt{7} \\ \underline{-a_1-4r=-7} \end{cases} \\ 2r=\sqrt{7}-7/:2 \\ r=\frac{\sqrt{7}-7}{2}
a_1+4r=7 \\ a_1=7-4r \\ a_1=7-4\cdot \frac{\sqrt{7}-7}{2}\\ a_1=7-2(\sqrt{7}-7) \\ a_1=7-2\sqrt{7}+14 \\ a_1=21-2\sqrt{7}

a_9=a_1+8r \\ a_9=21-2\sqrt{7}+8\cdot \frac{\sqrt{7}-7}{2} \\ a_9=21-2\sqrt{7}+4(\sqrt{7}-7) \\ a_9=21-2\sqrt{7}+4\sqrt{7}-28 \\ \underline{a_9=2\sqrt{7}-7}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy dane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego. Wzór na n-ty wyraz ciągu wygląda następująco:

a_n=a_1+(n-1)r

Możemy więc napisać:

a_5=a_1+(5-1)r=a_1+4r \\ a_7=a_1+(7-1)r=a_1+6r

Aby obliczyć dziewiąty wyraz, musimy znać a1 oraz r. Mamy więc dwie niewiadome. Wartości a5 i a7 znamy z warunków zadania, więc rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników:

\begin{cases}a_1+6r=\sqrt{7} \\ a_1+4r=7/\cdot (-1) \end{cases} \\ \begin{cases}a_1+6r=\sqrt{7} \\ \underline{-a_1-4r=-7} \end{cases} \\ 2r=\sqrt{7}-7/:2 \\ r=\frac{\sqrt{7}-7}{2}

Otrzymany wynik podstawiamy do drugiego równania układu równań po wyznaczeniu z niego a1.

a_1+4r=7 \\ a_1=7-4r \\ a_1=7-4\cdot \frac{\sqrt{7}-7}{2}\\ a_1=7-2(\sqrt{7}-7) \\ a_1=7-2\sqrt{7}+14 \\ a_1=21-2\sqrt{7}

Możemy teraz obliczyć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_9=a_1+8r \\ a_9=21-2\sqrt{7}+8\cdot \frac{\sqrt{7}-7}{2} \\ a_9=21-2\sqrt{7}+4(\sqrt{7}-7) \\ a_9=21-2\sqrt{7}+4\sqrt{7}-28 \\ \underline{a_9=2\sqrt{7}-7}

ksiązki Odpowiedź

a_9=2\sqrt{7}-7

© medianauka.pl, 2010-01-09, ZAD-496





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.