Strona główna » Matematyka » Właściwości ciągu arytmetycznego

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm³. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: (a,b,c)
$P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\\ ab=12$
$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
$b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a$

$a^2+b^2=c^2 \\ a^2+b^2=(2b-a)^2 \\ \cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2} \\ b^2=4b^2-4ab \\ -3b^2=-4\cdot 12/:(-3) \\ b^2=16 \\ b=4$
$ab=12 \\ 4a=12/:4 \\a=3$
$c^2=a^2+b^2 \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \\ c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
a=3, b=4, c=5

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek.

Rysunek pomocniczy - trójkąt - oznaczenia

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: (a,b,c)

Czy są inne możliwości ułożenia ciągu arytmetycznego? Tak. Warunek zadania spełnia ciąg (c,b,a). Możliwość, kiedy przyprostokątne mają równą długość musimy wyeliminować, gdyż w ciągu arytmetycznym wyrazy różnią się od siebie. Najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc tylko jej długość może być pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu. Zauważmy też, że analiza ciągu (a,b,c) i (c,b,a) musi dać ten sam wynik, gdyż w odniesieniu do długości c pozostałe długości boków będą w analogicznej zależności.

Dane jest też pole powierzchni trójkąta, które wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}ah$

W powyższym wzorze a oznacza długość podstawy trójkąta, h - wysokość. W naszym przypadku podstawą i wysokością trójkąta są przyprostokątne, zatem:

$P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\\ ab=12$ tło

Należy znaleźć jeszcze co najmniej dwie zależności pomiędzy długościami boków, gdyż mamy trzy niewiadome. Wykorzystajmy fakt, że długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Skorzystamy z następującej właściwości ciągu arytmetycznego:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

$b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a$ tło

Skorzystamy jeszcze z twierdzenia Pitagorasa:

$a^2+b^2=c^2 \\ a^2+b^2=(2b-a)^2 \\ \cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2} \\ b^2=4b^2-4ab \\ -3b^2=-4\cdot 12/:(-3) \\ b^2=16 \\ b=4$ tło

Rozwiązaniem powyższego równania jest też liczba -4, ale ze względu na to, że b jest długością boku trójkąta, nie może być to liczba ujemna.

Podstawiamy uzyskany wynik do wzoru na pole trójkąta:

$ab=12 \\ 4a=12/:4 \\a=3$

Aby znaleźć c, wstawiamy dane do wzoru na twierdzenie Pitagorasa:

$c^2=a^2+b^2 \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \\ c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$