Nauka » Matematyka » Ciąg arytmetyczny

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm³. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: (a,b,c)
$P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\\ ab=12$
$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
$b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a$

$a^2+b^2=c^2 \\ a^2+b^2=(2b-a)^2 \\ \cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2} \\ b^2=4b^2-4ab \\ -3b^2=-4\cdot 12/:(-3) \\ b^2=16 \\ b=4$
$ab=12 \\ 4a=12/:4 \\a=3$
$c^2=a^2+b^2 \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \\ c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
a=3, b=4, c=5

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek.

Rysunek pomocniczy - trójkąt - oznaczenia

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: (a,b,c)

Czy są inne możliwości ułożenia ciągu arytmetycznego? Tak. Warunek zadania spełnia ciąg (c,b,a). Możliwość, kiedy przyprostokątne mają równą długość musimy wyeliminować, gdyż w ciągu arytmetycznym wyrazy różnią się od siebie. Najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc tylko jej długość może być pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu. Zauważmy też, że analiza ciągu (a,b,c) i (c,b,a) musi dać ten sam wynik, gdyż w odniesieniu do długości c pozostałe długości boków będą w analogicznej zależności.

Dane jest też pole powierzchni trójkąta, które wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}ah$

W powyższym wzorze a oznacza długość podstawy trójkąta, h - wysokość. W naszym przypadku podstawą i wysokością trójkąta są przyprostokątne, zatem:

$P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\\ ab=12$ tło

Należy znaleźć jeszcze co najmniej dwie zależności pomiędzy długościami boków, gdyż mamy trzy niewiadome. Wykorzystajmy fakt, że długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Skorzystamy z następującej właściwości ciągu arytmetycznego:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

$b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a$ tło

Skorzystamy jeszcze z twierdzenia Pitagorasa:

$a^2+b^2=c^2 \\ a^2+b^2=(2b-a)^2 \\ \cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2} \\ b^2=4b^2-4ab \\ -3b^2=-4\cdot 12/:(-3) \\ b^2=16 \\ b=4$ tło

Rozwiązaniem powyższego równania jest też liczba -4, ale ze względu na to, że b jest długością boku trójkąta, nie może być to liczba ujemna.

Podstawiamy uzyskany wynik do wzoru na pole trójkąta:

$ab=12 \\ 4a=12/:4 \\a=3$

Aby znaleźć c, wstawiamy dane do wzoru na twierdzenie Pitagorasa:

$c^2=a^2+b^2 \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \\ c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Odpowiedź

a=3, b=4, c=5

Zadania podobne

Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg $a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}$ jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i $\sqrt{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5})$ jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n² + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. a_n=-3n+5
B. a_n=n-3
C. a_n=-n+3
D. a_n=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania