Zadanie - ciąg arytmetyczny

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek.

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: \((a,b,c)\).

Czy są inne możliwości ułożenia ciągu arytmetycznego? Tak. Warunek zadania spełnia ciąg \((c,b,a)\). Możliwość, kiedy przyprostokątne mają równą długość, musimy wyeliminować, gdyż w ciągu arytmetycznym wyrazy różnią się od siebie. Najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc tylko jej długość może być pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu. Zauważmy też, że analiza ciągu \((a,b,c)\) i \((c,b,a)\) musi dać ten sam wynik, gdyż w odniesieniu do długości \(c\) pozostałe długości boków będą w analogicznej zależności.

Dane jest też pole powierzchni trójkąta, które wyraża się wzorem:

W powyższym wzorze \(a\) oznacza długość podstawy trójkąta, \(h\) - wysokość. W naszym przypadku podstawą i wysokością trójkąta są przyprostokątne, zatem:

\(P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\)

\(ab=12\)

Należy znaleźć jeszcze co najmniej dwie zależności pomiędzy długościami boków, gdyż mamy trzy niewiadome. Wykorzystajmy fakt, że długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Skorzystamy z następującej właściwości ciągu arytmetycznego:

Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

\(b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a\)

Skorzystamy jeszcze z twierdzenia Pitagorasa:

\(a^2+b^2=c^2\)

\(a^2+b^2=(2b-a)^2\)

\(\cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2}\)

\(b^2=4b^2-4ab\)

\(-3b^2=-4\cdot 12/:(-3)\)

\(b^2=16\)

\(b=4\)

Rozwiązaniem powyższego równania jest też liczba \(-4\), ale ze względu na to, że \(b\) jest długością boku trójkąta, nie może być to liczba ujemna.

Podstawiamy uzyskany wynik do wzoru na pole trójkąta:

\(ab=12\)

\(4a=12/:4\)

\(a=3\)

Aby znaleźć \(c\), wstawiamy dane do wzoru na twierdzenie Pitagorasa:

\(c^2=a^2+b^2\)

\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-10, ZAD-499

Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:

\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)\)

Wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}\) jest ciągiem arytmetycznym.

Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio \(7\) i \(\sqrt{7}\).

Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5, x, y, \frac{1}{5})\) jest ciągiem arytmetycznym?

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

A. 28

B. 29

C. 33

D. 40

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \((-\frac{3}{2})\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:

A. \(\frac{37}{2}\)

B. \(-\frac{37}{2}\)

C. \(-\frac{5}{2}\)

D. \(\frac{5}{2}\)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

Liczby \(2,-1,-4\) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. \(a_n=-3n+5\)

B. \(a_n=n-3\)

C. \(a_n=-n+3\)

D. \(a_n=3n-5\)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: \(a_1=5, a_2=11\). Wtedy

A. \(a_{14}=71\)

B. \(a_{12}=71\)

C. \(a_{11}=71\)

D. \(a_{10}=71\)

Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).

Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy

A. \(a_5=4\)

B. \(a_5=3\)

C. \(a_5=6\)

D. \(a_5=5\)

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1= 7 i a_8=−49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. -168

B. -189

C. -21

D. -42

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=−4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) jest równa 16.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=−78\).

Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

A. \(-42\)

B. \(-36\)

C. \(-18\)

D. \(6\)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=−66\). Różnica tego ciągu jest równa

A. (-7)

B. (-19,4)

C. 7

D. 19,4

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.