Nauka » Matematyka » Ciąg arytmetyczny

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm³. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Rozwiązanie zadania uproszczone

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: (a,b,c)
$P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\\ ab=12$
$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
$b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a$

$a^2+b^2=c^2 \\ a^2+b^2=(2b-a)^2 \\ \cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2} \\ b^2=4b^2-4ab \\ -3b^2=-4\cdot 12/:(-3) \\ b^2=16 \\ b=4$
$ab=12 \\ 4a=12/:4 \\a=3$
$c^2=a^2+b^2 \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \\ c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
a=3, b=4, c=5

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek.

Rysunek pomocniczy - trójkąt - oznaczenia

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: (a,b,c)

Czy są inne możliwości ułożenia ciągu arytmetycznego? Tak. Warunek zadania spełnia ciąg (c,b,a). Możliwość, kiedy przyprostokątne mają równą długość musimy wyeliminować, gdyż w ciągu arytmetycznym wyrazy różnią się od siebie. Najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc tylko jej długość może być pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu. Zauważmy też, że analiza ciągu (a,b,c) i (c,b,a) musi dać ten sam wynik, gdyż w odniesieniu do długości c pozostałe długości boków będą w analogicznej zależności.

Dane jest też pole powierzchni trójkąta, które wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}ah$

W powyższym wzorze a oznacza długość podstawy trójkąta, h - wysokość. W naszym przypadku podstawą i wysokością trójkąta są przyprostokątne, zatem:

$P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\\ ab=12$ tło

Należy znaleźć jeszcze co najmniej dwie zależności pomiędzy długościami boków, gdyż mamy trzy niewiadome. Wykorzystajmy fakt, że długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Skorzystamy z następującej właściwości ciągu arytmetycznego:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

$b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a$ tło

Skorzystamy jeszcze z twierdzenia Pitagorasa:

$a^2+b^2=c^2 \\ a^2+b^2=(2b-a)^2 \\ \cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2} \\ b^2=4b^2-4ab \\ -3b^2=-4\cdot 12/:(-3) \\ b^2=16 \\ b=4$ tło

Rozwiązaniem powyższego równania jest też liczba -4, ale ze względu na to, że b jest długością boku trójkąta, nie może być to liczba ujemna.

Podstawiamy uzyskany wynik do wzoru na pole trójkąta:

$ab=12 \\ 4a=12/:4 \\a=3$

Aby znaleźć c, wstawiamy dane do wzoru na twierdzenie Pitagorasa:

$c^2=a^2+b^2 \\ c=\sqrt{a^2+b^2} \\ c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Odpowiedź

a=3, b=4, c=5

Zadania podobne

Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg $a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}$ jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i $\sqrt{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5})$ jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n² + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. a_n=-3n+5
B. a_n=n-3
C. a_n=-n+3
D. a_n=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2017 (poziom podstawowy)
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n ≥1, dane są: a₁ = 5 , a₂ = 11. Wtedy A. a₁₄ = 71
B. a₁₂ = 71
C. a₁₁ = 71
D. a₁₀ = 71

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2018

Dany jest ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest

arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2018

Dla ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek a₄+a₅+a₆=12 . Wtedy

a₅=4
a₅=3
a₅=6
a₅=5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2018

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2019

W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a₁ = 7 i a₈ = −49.
Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. -168

B. -189

C. -21

D. -42

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.