Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązanie zadania uproszczone







a=3, b=4, c=5
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Sporządzamy rysunek.

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: (a,b,c)
Czy są inne możliwości ułożenia ciągu arytmetycznego? Tak. Warunek zadania spełnia ciąg (c,b,a). Możliwość, kiedy przyprostokątne mają równą długość musimy wyeliminować, gdyż w ciągu arytmetycznym wyrazy różnią się od siebie. Najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc tylko jej długość może być pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu. Zauważmy też, że analiza ciągu (a,b,c) i (c,b,a) musi dać ten sam wynik, gdyż w odniesieniu do długości c pozostałe długości boków będą w analogicznej zależności.
Dane jest też pole powierzchni trójkąta, które wyraża się wzorem:

W powyższym wzorze a oznacza długość podstawy trójkąta, h - wysokość. W naszym przypadku podstawą i wysokością trójkąta są przyprostokątne, zatem:


Należy znaleźć jeszcze co najmniej dwie zależności pomiędzy długościami boków, gdyż mamy trzy niewiadome. Wykorzystajmy fakt, że długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Skorzystamy z następującej właściwości ciągu arytmetycznego:

Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.


Skorzystamy jeszcze z twierdzenia Pitagorasa:



Rozwiązaniem powyższego równania jest też liczba -4, ale ze względu na to, że b jest długością boku trójkąta, nie może być to liczba ujemna.
Podstawiamy uzyskany wynik do wzoru na pole trójkąta:

Aby znaleźć c, wstawiamy dane do wzoru na twierdzenie Pitagorasa:

Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-10, ZAD-499
Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że ciąg

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości x i y ciąg

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209
Pokaż rozwiązanie zadania

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :
A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Pokaż rozwiązanie zadania

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:
A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5
Pokaż rozwiązanie zadania

W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n ≥1, dane są: a1 = 5 , a2 = 11. Wtedy A. a14 = 71
B. a12 = 71
C. a11 = 71
D. a10 = 71
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dla ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek a4+a5+a6=12 . Wtedy
- a5=4
- a5=3
- a5=6
- a5=5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Pokaż rozwiązanie zadania

W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = −49.
Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. -168
B. -189
C. -21
D. -42
Pokaż rozwiązanie zadania