Zadanie - ciąg arytmetyczny


Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek.

Rysunek pomocniczy - trójkąt - oznaczenia

Zgodnie z warunkami zadania długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny: \((a,b,c)\).

Czy są inne możliwości ułożenia ciągu arytmetycznego? Tak. Warunek zadania spełnia ciąg \((c,b,a)\). Możliwość, kiedy przyprostokątne mają równą długość, musimy wyeliminować, gdyż w ciągu arytmetycznym wyrazy różnią się od siebie. Najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc tylko jej długość może być pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu. Zauważmy też, że analiza ciągu \((a,b,c)\) i \((c,b,a)\) musi dać ten sam wynik, gdyż w odniesieniu do długości \(c\) pozostałe długości boków będą w analogicznej zależności.

Dane jest też pole powierzchni trójkąta, które wyraża się wzorem:

\(P=\frac{1}{2}ah\)

W powyższym wzorze \(a\) oznacza długość podstawy trójkąta, \(h\) - wysokość. W naszym przypadku podstawą i wysokością trójkąta są przyprostokątne, zatem:

\(P=\frac{1}{2}ab=6 /\cdot 2\)

\(ab=12\)

Należy znaleźć jeszcze co najmniej dwie zależności pomiędzy długościami boków, gdyż mamy trzy niewiadome. Wykorzystajmy fakt, że długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Skorzystamy z następującej właściwości ciągu arytmetycznego:

\(a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\)

Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego.

\(b=\frac{a+c}{2}/\cdot 2 \\ 2b=a+c \\ c=2b-a\)

Skorzystamy jeszcze z twierdzenia Pitagorasa:

\(a^2+b^2=c^2\)

\(a^2+b^2=(2b-a)^2\)

\(\cancel{a^2}+b^2=(2b)^2-2\cdot 2b\cdot a +\cancel{a^2}\)

\(b^2=4b^2-4ab\)

\(-3b^2=-4\cdot 12/:(-3)\)

\(b^2=16\)

\(b=4\)

Rozwiązaniem powyższego równania jest też liczba \(-4\), ale ze względu na to, że \(b\) jest długością boku trójkąta, nie może być to liczba ujemna.

Podstawiamy uzyskany wynik do wzoru na pole trójkąta:

\(ab=12\)

\(4a=12/:4\)

\(a=3\)

Aby znaleźć \(c\), wstawiamy dane do wzoru na twierdzenie Pitagorasa:

\(c^2=a^2+b^2\)

\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(c=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)

ksiązki Odpowiedź

\(a=3, b=4, c=5\)

© medianauka.pl, 2010-01-10, ZAD-499

Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:

\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny

Wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}\) jest ciągiem arytmetycznym.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny

Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny

Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio \(7\) i \(\sqrt{7}\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu

Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5, x, y, \frac{1}{5})\) jest ciągiem arytmetycznym?



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2021

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

A. 28

B. 29

C. 33

D. 40



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \((-\frac{3}{2})\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:

A. \(\frac{37}{2}\)

B. \(-\frac{37}{2}\)

C. \(-\frac{5}{2}\)

D. \(\frac{5}{2}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2014

Liczby \(2,-1,-4\) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. \(a_n=-3n+5\)

B. \(a_n=n-3\)

C. \(a_n=-n+3\)

D. \(a_n=3n-5\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2017 (poziom podstawowy)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: \(a_1=5, a_2=11\). Wtedy

A. \(a_{14}=71\)

B. \(a_{12}=71\)

C. \(a_{11}=71\)

D. \(a_{10}=71\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2018

Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2018

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy

A. \(a_5=4\)

B. \(a_5=3\)

C. \(a_5=6\)

D. \(a_5=5\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 31, matura 2018

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 2, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2019

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1= 7 i a_8=−49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. -168

B. -189

C. -21

D. -42



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 32, matura 2019

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=−4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) jest równa 16.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=−78\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2019 - poziom rozszerzony

Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2020

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

A. \(-42\)

B. \(-36\)

C. \(-18\)

D. \(6\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2022

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=−66\). Różnica tego ciągu jest równa

A. (-7)

B. (-19,4)

C. 7

D. 19,4



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 30, matura 2022

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 17, matura 2023

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.



Pokaż rozwiązanie zadania




©® Media Nauka 2008-2023 r.