Strona główna » Matematyka » Właściwości ciągu arytmetycznego

Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$r=a_2-a_1=1+\sqrt{2}-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
$a_n=a_1+(n-1)r=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+(n-1)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})= \\ =\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}+n\frac{1}{2}+n\frac{\sqrt{2}}{2}-\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{n}{2}+\frac{n\sqrt{2}}{2}= \\ = \frac{n+n\sqrt{2}}{2}=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:

Znamy pierwszy wyraz ciągu a₁, musimy obliczyć różnicę r ciągu arytmetycznego, zgodnie ze wzorem:

$a_{n+1}-a_n=r$

Odejmujemy od siebie dowolne dwa kolejne wyrazy ciągu:

$r=a_2-a_1=1+\sqrt{2}-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$

Teraz możemy obliczyć wzór na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_1+(n-1)r=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+(n-1)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})= \\ =\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}+n\frac{1}{2}+n\frac{\sqrt{2}}{2}-\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{n}{2}+\frac{n\sqrt{2}}{2}= \\ = \frac{n+n\sqrt{2}}{2}=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}$