Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Treść zadania:
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)\)
Rozwiązanie zadania
Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:
Znamy pierwszy wyraz ciągu \(a_1\), musimy obliczyć różnicę \(r\) ciągu arytmetycznego, zgodnie ze wzorem:
Odejmujemy od siebie dowolne dwa kolejne wyrazy ciągu:
\(r=a_2-a_1=1+\sqrt{2}-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Teraz możemy obliczyć wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu:
\(a_n=a_1+(n-1)r=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+(n-1)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\)
\(=\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}+n\frac{1}{2}+n\frac{\sqrt{2}}{2}-\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{n}{2}+\frac{n\sqrt{2}}{2}=\)
\(=\frac{n+n\sqrt{2}}{2}=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-07, ZAD-493
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}\) jest ciągiem arytmetycznym.
Zadanie nr 3.
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio \(7\) i \(\sqrt{7}\).
Zadanie nr 4.
Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5, x, y, \frac{1}{5})\) jest ciągiem arytmetycznym?
Zadanie nr 6.
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy
A. 28
B. 29
C. 33
D. 40
Zadanie nr 8 — maturalne.
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \((-\frac{3}{2})\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:
A. \(\frac{37}{2}\)
B. \(-\frac{37}{2}\)
C. \(-\frac{5}{2}\)
D. \(\frac{5}{2}\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie nr 10 — maturalne.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczby \(2,-1,-4\) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wzór ogólny tego ciągu ma postać:
A. \(a_n=-3n+5\)
B. \(a_n=n-3\)
C. \(a_n=-n+3\)
D. \(a_n=3n-5\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: \(a_1=5, a_2=11\). Wtedy
A. \(a_{14}=71\)
B. \(a_{12}=71\)
C. \(a_{11}=71\)
D. \(a_{10}=71\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
Zadanie nr 14 — maturalne.
Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).
C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).
D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy
A. \(a_5=4\)
B. \(a_5=3\)
C. \(a_5=6\)
D. \(a_5=5\)
Zadanie nr 16 — maturalne.
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Zadanie nr 17 — maturalne.
Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Zadanie nr 18 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1= 7 i a_8=−49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. -168
B. -189
C. -21
D. -42
Zadanie nr 19 — maturalne.
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=−4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=−78\).
Zadanie nr 20 — maturalne.
Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).
Zadanie nr 21 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa
A. \(-42\)
B. \(-36\)
C. \(-18\)
D. \(6\)
Zadanie nr 22 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=−66\). Różnica tego ciągu jest równa
A. (-7)
B. (-19,4)
C. 7
D. 19,4
Zadanie nr 23 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zadanie nr 24 — maturalne.
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.