Nauka » Matematyka » Ciąg arytmetyczny

Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$r=a_2-a_1=1+\sqrt{2}-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
$a_n=a_1+(n-1)r=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+(n-1)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})= \\ =\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}+n\frac{1}{2}+n\frac{\sqrt{2}}{2}-\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{n}{2}+\frac{n\sqrt{2}}{2}= \\ = \frac{n+n\sqrt{2}}{2}=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:

Znamy pierwszy wyraz ciągu a₁, musimy obliczyć różnicę r ciągu arytmetycznego, zgodnie ze wzorem:

$a_{n+1}-a_n=r$

Odejmujemy od siebie dowolne dwa kolejne wyrazy ciągu:

$r=a_2-a_1=1+\sqrt{2}-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$

Teraz możemy obliczyć wzór na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_1+(n-1)r=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+(n-1)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})= \\ =\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}+n\frac{1}{2}+n\frac{\sqrt{2}}{2}-\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{n}{2}+\frac{n\sqrt{2}}{2}= \\ = \frac{n+n\sqrt{2}}{2}=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}$

Odpowiedź

$a_n=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg $a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}$ jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i $\sqrt{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5})$ jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm³. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n² + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. a_n=-3n+5
B. a_n=n-3
C. a_n=-n+3
D. a_n=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania