Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz


Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

r=a_2-a_1=1+\sqrt{2}-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}
a_n=a_1+(n-1)r=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+(n-1)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})= \\ =\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}+n\frac{1}{2}+n\frac{\sqrt{2}}{2}-\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{n}{2}+\frac{n\sqrt{2}}{2}= \\ = \frac{n+n\sqrt{2}}{2}=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:

a_n=a_1+(n-1)r

Znamy pierwszy wyraz ciągu a1, musimy obliczyć różnicę r ciągu arytmetycznego, zgodnie ze wzorem:

a_{n+1}-a_n=r

Odejmujemy od siebie dowolne dwa kolejne wyrazy ciągu:

r=a_2-a_1=1+\sqrt{2}-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}

Teraz możemy obliczyć wzór na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_1+(n-1)r=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+(n-1)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})= \\ =\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}+n\frac{1}{2}+n\frac{\sqrt{2}}{2}-\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{n}{2}+\frac{n\sqrt{2}}{2}= \\ = \frac{n+n\sqrt{2}}{2}=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}

ksiązki Odpowiedź

a_n=\frac{n(1+\sqrt{2})}{2}

© medianauka.pl, 2010-01-07, ZAD-493


Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i \sqrt{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg (5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5}) jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.