Nauka » Matematyka » Ciąg arytmetyczny

Zadanie - ciąg arytmetyczny

Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$r=2 \\ a_1=2 \\ a_{100}=2+(100-1)\cdot 2=2+99\cdot 2 =200$
$S_{100}=\frac{2+200}{2}\cdot 100=101\cdot 100=\underline{10100}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczby parzyste można zapisać jako ciąg (2,4,6,8,...). Jest to ciąg arytmetyczny, gdyż różnica między każdymi kolejnymi wyrazami ciągu wynosi r=2. Liczby parzyste możemy więc wyrazić wzorem: a_n=2n

Jeśli nie wiesz, skąd się wziął ten wzór, wystarczy skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu:

Mamy więc:
$a_n=2+(n-1)\cdot 2=2+2n-2=2n$

Wróćmy do rozwiązywania zadania. Aby obliczyć sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego korzystamy ze wzoru:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Brakuje więc setnego wyrazu naszego ciągu. Obliczamy go z przytoczonego już tutaj wzoru na n-ty wyraz ciągu:

$a_{n}=a_1+(n-1)r \\ a_{100}=2+(100-1)\cdot 2=2+99\cdot 2 =200$

Możemy obliczyć szukaną sumę

$S_{100}=\frac{2+200}{2}\cdot 100=101\cdot 100=10100$

Odpowiedź

Suma pierwszych stu liczb parzystych jest równa 10100

Zadania podobne

Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
$(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg $a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}$ jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i $\sqrt{7}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5})$ jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm³. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n² + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. a_n=-3n+5
B. a_n=n-3
C. a_n=-n+3
D. a_n=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania