Ciąg arytmetyczny

Co to jest ciąg arytmetyczny?

Definicja

Ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

$a_{n+1}-a_n=r$

Liczba r to tak zwana różnica ciągu arytmetycznego.

Mówiąc prościej, jeżeli różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, to mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.

Przykłady ciągów arytmetycznych

Oto przykłady ciągów arytmetycznych.

Przykład

Przykład ciągu	Różnica ciągu arytmetycznego
(1,2,3,4,...)	r=1
(0,-1,-2,-3,...)	r=-1
(5,10,15,20,25)	r=5
$(-1,\sqrt{2}, \ 1+2\sqrt{2}, \ 2+3\sqrt{2}, \ ...)$	$r=1+\sqrt{2}$

Jak sprawdzić czy ciąg jest arytmetyczny?

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, należy sprawdzić różnicę dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład

Sprawdzić, czy ciąg $a_n=n(1+sqrt{3})-1$ jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=(n+1)(1+\sqrt{3})-1=n+n\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}$
Obliczamy różnicę
$a_{n+1}-a_n=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}-n(1+\sqrt{3})-1=\sqrt{3}-1=const=r$
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama - ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład

Zbadaj, czy ciąg $a_n=\frac{1}{n}$ jest arytmetyczny.

Obliczamy
$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$
Obliczamy różnicę
$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}\neq const$
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem arytmetycznym.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Twierdzenie

Jeżeli (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, a r różnicą ciągu arytmetycznego, to dla każdego $n\in{N_+}$ zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r=5 jest równy 3. Oblicz tysięczny wyraz ciągu a₁₀₀₀.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.

$a_{1000}=3+(1000-1)\cdot{5}=3+999\cdot{5}=4998$

Twierdzenie

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Twierdzenie

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) wyraża się wzorem:

$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}$

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg arytmetyczny , to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę $S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n-skladnikow}$

Przykład

Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od 2 do 33.
Kolejne liczby naturalne od 2 do 33 tworzą ciąg arytmetyczny (2,4,5,...33). Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
a₁=2
n =32 (mamy 32 wyrazy ciągu)
a₃₂=33
$S_n=\frac{2+33}{2}\cdot{32}=560$

Przykład

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 5, a dziesiąty wyraz jest równy -5. Wypisać trzy pierwsze wyrazy ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Mamy więc z warunków zadania:
$a_5=5=a_1+(5-1)r=a_1+4r\\a_{10}=-5=a_1+(10-1)r=a_1+9r$
Mamy więc układ równań:
$\begin{cases}a_1+4r=5\\a_1+9r=-5\end{cases}$
Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:
$4r-9r=5-(-5)\\-5r=10/:(-5)\\r=-2$
Podstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego równania i otrzymujemy:
$a_1+4\cdot(-2)=5\\a_1=13$
Obliczmy jeszcze drugi i trzeci wyraz ciągu, korzystając z wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
$a_2=13+1\cdot(-2)=11$
$a_3=13+2\cdot(-2)=9$

Odpowiedź: Pierwsze trzy wyrazy ciągu to 13, 11 i 9.