Ciąg arytmetyczny

Co to jest ciąg arytmetyczny?

Definicja Definicja

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

a_{n+1}-a_n=r

Liczba r to tak zwana różnica ciągu arytmetycznego.

Mówiąc prościej, jeżeli różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, to mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.

Przykłady ciągów arytmetycznych

Oto przykłady ciągów arytmetycznych.

Przykład Przykład

Przykład ciąguRóżnica ciągu arytmetycznego
(1,2,3,4,...)r=1
(0,-1,-2,-3,...)r=-1
(5,10,15,20,25)r=5
(-1,\sqrt{2}, \ 1+2\sqrt{2}, \ 2+3\sqrt{2}, \ ...)r=1+\sqrt{2}

Jak sprawdzić czy ciąg jest arytmetyczny?

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, należy sprawdzić różnicę dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład Przykład

Sprawdzić, czy ciąg a_n=n(1+sqrt{3})-1 jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy
a_{n+1}=(n+1)(1+\sqrt{3})-1=n+n\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}
Obliczamy różnicę
a_{n+1}-a_n=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}-n(1+\sqrt{3})-1=\sqrt{3}-1=const=r
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama - ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład Przykład

Zbadaj, czy ciąg a_n=\frac{1}{n} jest arytmetyczny.

Obliczamy
a_{n+1}=\frac{1}{n+1}
Obliczamy różnicę
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}\neq const
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem arytmetycznym.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli (an) jest ciągiem arytmetycznym, a r różnicą ciągu arytmetycznego, to dla każdego n\in{N_+}zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_1+(n-1)r

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład Przykład

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r=5 jest równy 3. Oblicz tysięczny wyraz ciągu a1000.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.

a_{1000}=3+(1000-1)\cdot{5}=3+999\cdot{5}=4998

Twierdzenie Twierdzenie

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem:

S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg arytmetyczny (a_1,a_2,a_3,...), to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n-skladnikow}

Przykład Przykład

Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od 2 do 33.
Kolejne liczby naturalne od 2 do 33 tworzą ciąg arytmetyczny (2,4,5,...33). Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
a1=2
n =32 (mamy 32 wyrazy ciągu)
a32=33
S_n=\frac{2+33}{2}\cdot{32}=560

Przykład Przykład

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 5, a dziesiąty wyraz jest równy -5. Wypisać trzy pierwsze wyrazy ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Mamy więc z warunków zadania:
a_5=5=a_1+(5-1)r=a_1+4r\\a_{10}=-5=a_1+(10-1)r=a_1+9r
Mamy więc układ równań:
\begin{cases}a_1+4r=5\\a_1+9r=-5\end{cases}
Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:
4r-9r=5-(-5)\\-5r=10/:(-5)\\r=-2
Podstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego równania i otrzymujemy:
a_1+4\cdot(-2)=5\\a_1=13
Obliczmy jeszcze drugi i trzeci wyraz ciągu, korzystając z wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
a_2=13+1\cdot(-2)=11
a_3=13+2\cdot(-2)=9

Odpowiedź: Pierwsze trzy wyrazy ciągu to 13, 11 i 9.

Ciąg arytmetyczny - wzory

W poniższej tabeli zamieszczono podstawowe wzory, będące podsumowaniem niniejszego artykułu.

NazwaWzór
ciąg arytmetycznya_{n+1}-a_n=r
n-ty wyraz ciągu arytmetycznegoa_n=a_1+(n-1)r
własność wyrazów ciągu arytmetycznego a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
suma wyrazów ciągu arytmetycznegoS_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Teoria Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0 i jest malejący gdy r<0.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma a1 + a2 + a3 + a4 jest równa

A. -42

B. -36

C. -18

D. 6

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny, ciąg (a +1, b + 5, c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a +b + c = 39. Oblicz a, b, c.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = −4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2 ,a3, a4, a5, a6, jest równa 16.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę k, dla której ak = −78.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = −49.
Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. -168

B. -189

C. -21

D. -42

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dla ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek a4+a5+a6=12 . Wtedy

  1. a5=4
  2. a5=3
  3. a5=6
  4. a5=5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest

  1. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
  2. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
  3. geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
  4. geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n ≥1, dane są: a1 = 5 , a2 = 11. Wtedy A. a14 = 71
B. a12 = 71
C. a11 = 71
D. a10 = 71

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 — maturalne.

Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 — maturalne.

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek a3 + a5 = 58. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

A. 28

B. 29

C. 33

D. 40

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16.

Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17.

Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18.

Dla jakich wartości x i y ciąg (5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5}) jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19.

Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i \sqrt{7}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20.

Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21.

Wykazać, że ciąg a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 22 — maturalne.

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2

Pokaż rozwiązanie zadania.



Inne zagadnienia z tej lekcji

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Ciąg jest geometryczny, jeżeli istnieje liczba q\neq 0, że dla każdego n spełniony jest warunek \frac{a_{n+1}}{a_n}=q

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-08-24, ART-305
Data aktualizacji artykułu: 2018-03-05



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.