Ciąg arytmetyczny

Definicja

Ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

$a_{n+1}-a_n=r$

Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Mówiąc prościej, jeżeli różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, to mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Oto przykłady takich ciągów.

Przykład

Przykład ciągu	Różnica ciągu arytmetycznego
(1,2,3,4,...)	r=1
(0,-1,-2,-3,...)	r=-1
(5,10,15,20,25)	r=5
$(-1,\sqrt{2}, \ 1+2\sqrt{2}, \ 2+3\sqrt{2}, \ ...)$	$r=1+\sqrt{2}$

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, należy sprawdzić różnicę dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg $a_n=n(1+sqrt{3})-1$ jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=(n+1)(1+\sqrt{3})-1=n+n\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}$
Obliczamy różnicę
$a_{n+1}-a_n=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}-n(1+\sqrt{3})-1=\sqrt{3}-1=const=r$
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama - ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg $a_n=\frac{1}{n}$ jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$
Obliczamy różnicę
$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}\neq const$
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem arytmetycznym.