Ciąg arytmetyczny
Co to jest ciąg arytmetyczny?
Definicja
Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

Liczba r to tak zwana różnica ciągu arytmetycznego.
Mówiąc prościej, jeżeli różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, to mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.
Przykłady ciągów arytmetycznych
Oto przykłady ciągów arytmetycznych.
Przykład
Przykład ciągu | Różnica ciągu arytmetycznego |
---|---|
(1,2,3,4,...) | r=1 |
(0,-1,-2,-3,...) | r=-1 |
(5,10,15,20,25) | r=5 |
![]() | ![]() |
Jak sprawdzić czy ciąg jest arytmetyczny?
Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, należy sprawdzić różnicę dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.
Przykład
Sprawdzić, czy ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy
Obliczamy różnicę
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama - ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
Przykład
Zbadaj, czy ciąg jest arytmetyczny.
Obliczamy
Obliczamy różnicę
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem arytmetycznym.
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Twierdzenie
Jeżeli (an) jest ciągiem arytmetycznym, a r różnicą ciągu arytmetycznego, to dla każdego zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.
Przykład
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r=5 jest równy 3. Oblicz tysięczny wyraz ciągu a1000.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.
Twierdzenie
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego
Twierdzenie
Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem:

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg arytmetyczny , to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę
Przykład
Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od 2 do 33.
Kolejne liczby naturalne od 2 do 33 tworzą ciąg arytmetyczny (2,4,5,...33). Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
a1=2
n =32 (mamy 32 wyrazy ciągu)
a32=33 Przykład
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 5, a dziesiąty wyraz jest równy -5. Wypisać trzy pierwsze wyrazy ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Mamy więc z warunków zadania:
Mamy więc układ równań:
Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:
Podstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego równania i otrzymujemy:
Obliczmy jeszcze drugi i trzeci wyraz ciągu, korzystając z wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Odpowiedź: Pierwsze trzy wyrazy ciągu to 13, 11 i 9.
Ciąg arytmetyczny - wzory
W poniższej tabeli zamieszczono podstawowe wzory, będące podsumowaniem niniejszego artykułu.
Nazwa | Wzór |
ciąg arytmetyczny | ![]() |
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego | ![]() |
własność wyrazów ciągu arytmetycznego | ![]() |
suma wyrazów ciągu arytmetycznego | ![]() |
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0 i jest malejący gdy r<0.
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5
Zadanie nr 2 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma a1 + a2 + a3 + a4 jest równa
A. -42
B. -36
C. -18
D. 6
Zadanie nr 3 — maturalne.
Ciąg (a, b, c) jest geometryczny, ciąg (a +1, b + 5, c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a +b + c = 39. Oblicz a, b, c.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = −4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2 ,a3, a4, a5, a6, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę k, dla której ak = −78.
Zadanie nr 5 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = −49.
Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. -168
B. -189
C. -21
D. -42
Zadanie nr 6 — maturalne.
Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dla ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek a4+a5+a6=12 . Wtedy
- a5=4
- a5=3
- a5=6
- a5=5
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.Zadanie nr 11 — maturalne.
W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n ≥1, dane są: a1 = 5 , a2 = 11. Wtedy A. a14 = 71B. a12 = 71
C. a11 = 71
D. a10 = 71
Zadanie nr 13 — maturalne.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.Zadanie nr 14 — maturalne.
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.Zadanie nr 15 — maturalne.
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek a3 + a5 = 58. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy
A. 28
B. 29
C. 33
D. 40
Zadanie nr 16.
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.Zadanie nr 17.
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209Zadanie nr 19.
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i
Zadanie nr 20.
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.Zadanie nr 22 — maturalne.
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2
Inne zagadnienia z tej lekcji
Ciąg geometryczny

Ciąg jest geometryczny, jeżeli istnieje liczba q\neq 0, że dla każdego n spełniony jest warunek \frac{a_{n+1}}{a_n}=q
© medianauka.pl, 2009-08-24, ART-305
Data aktualizacji artykułu: 2018-03-05