Logo Media Nauka

Ciąg arytmetyczny

Co to jest ciąg arytmetyczny?

Definicja Definicja

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

a_{n+1}-a_n=r

Liczba r to tak zwana różnica ciągu arytmetycznego.

Mówiąc prościej, jeżeli różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, to mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym.

Przykłady ciągów arytmetycznych

Oto przykłady ciągów arytmetycznych.

Przykład Przykład

Przykład ciąguRóżnica ciągu arytmetycznego
(1,2,3,4,...)r=1
(0,-1,-2,-3,...)r=-1
(5,10,15,20,25)r=5
(-1,\sqrt{2}, \ 1+2\sqrt{2}, \ 2+3\sqrt{2}, \ ...)r=1+\sqrt{2}

Jak sprawdzić czy ciąg jest arytmetyczny?

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, należy sprawdzić różnicę dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład Przykład

Sprawdzić, czy ciąg a_n=n(1+sqrt{3})-1 jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy
a_{n+1}=(n+1)(1+\sqrt{3})-1=n+n\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}
Obliczamy różnicę
a_{n+1}-a_n=n(1+\sqrt{3})+\sqrt{3}-n(1+\sqrt{3})-1=\sqrt{3}-1=const=r
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama - ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład Przykład

Zbadaj, czy ciąg a_n=\frac{1}{n} jest arytmetyczny.

Obliczamy
a_{n+1}=\frac{1}{n+1}
Obliczamy różnicę
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}\neq const
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem arytmetycznym.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli (an) jest ciągiem arytmetycznym, a r różnicą ciągu arytmetycznego, to dla każdego n\in{N_+}zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_1+(n-1)r

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład Przykład

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r=5 jest równy 3. Oblicz tysięczny wyraz ciągu a1000.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.

a_{1000}=3+(1000-1)\cdot{5}=3+999\cdot{5}=4998

Twierdzenie Twierdzenie

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Twierdzenie Twierdzenie

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem:

S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg arytmetyczny (a_1,a_2,a_3,...), to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n-skladnikow}

Przykład Przykład

Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od 2 do 33.
Kolejne liczby naturalne od 2 do 33 tworzą ciąg arytmetyczny (2,4,5,...33). Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:
a1=2
n =32 (mamy 32 wyrazy ciągu)
a32=33
S_n=\frac{2+33}{2}\cdot{32}=560

Przykład Przykład

Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 5, a dziesiąty wyraz jest równy -5. Wypisać trzy pierwsze wyrazy ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Mamy więc z warunków zadania:
a_5=5=a_1+(5-1)r=a_1+4r\\a_{10}=-5=a_1+(10-1)r=a_1+9r
Mamy więc układ równań:
\begin{cases}a_1+4r=5\\a_1+9r=-5\end{cases}
Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:
4r-9r=5-(-5)\\-5r=10/:(-5)\\r=-2
Podstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego równania i otrzymujemy:
a_1+4\cdot(-2)=5\\a_1=13
Obliczmy jeszcze drugi i trzeci wyraz ciągu, korzystając z wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
a_2=13+1\cdot(-2)=11
a_3=13+2\cdot(-2)=9

Odpowiedź: Pierwsze trzy wyrazy ciągu to 13, 11 i 9.

Ciąg arytmetyczny - wzory

W poniższej tabeli zamieszczono podstawowe wzory, będące podsumowaniem niniejszego artykułu.

NazwaWzór
ciąg arytmetycznya_{n+1}-a_n=r
n-ty wyraz ciągu arytmetycznegoa_n=a_1+(n-1)r
własność wyrazów ciągu arytmetycznego a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
suma wyrazów ciągu arytmetycznegoS_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Teoria Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0 i jest malejący gdy r<0.


© medianauka.pl, 2009-08-24, ART-305
Data aktualizacji artykułu: 2018-03-05






Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Ciąg arytmetyczny

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i \sqrt{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg (5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5}) jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Ciąg geometrycznyCiąg geometryczny
Ciąg jest geometryczny, jeżeli istnieje liczba q\neq 0, że dla każdego n spełniony jest warunek \frac{a_{n+1}}{a_n}=q



© Media Nauka 2008-2018 r.