Ciąg liczbowy

Definicja

Ciąg nieskończony (lub po prostu ciąg) jest to funkcja, która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych (bez zera) w niepusty zbiór Y.

Wartość funkcji dla argumentu n (n=1,2,3,...) oznaczamy przez i nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg oznaczamy przez lub .

Jeżeli wyrazami ciągu są liczby, to taki ciąg nazywamy liczbowym.

Przykład

Oto kilka przykładów ciągów:
(1,2,3,4,5...)
(2,4,6,8,16,...)
(-5,-6,-7,-8,...)
(0,2,0,3,0,4,...)
$(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...)$

Jak widać ciąg stanowią kolejno (kolejność jest tutaj istotna) ułożone liczby według jakiegoś schematu. Schemat ten wyrażamy zwykle za pomocą wzoru.

Przykład

Wyrazimy za pomocą wzoru ciąg (2,4,6,8,...).
Widać, że wyrazami ciągu są liczby parzyste. Możemy więc zapisać, że n-ty wyraz ciągu wyraża się wzorem , a sam ciąg zapisać jako .

Animacja

Poniższa animacja ilustruje w jaki sposób tworzymy wyrazy ciągu na podstawie jego wzoru.

Ciąg liczbowy może być określony za pomocą wzoru rekurencyjnego oraz odpowiedniej liczby wyrazów. Znaczenie rekurencji polega na odwoływaniu się funkcji do samej siebie. Oto przykład takiego określenia ciągu:

Przykład

Ciąg jest określony w następujący sposób:
$\begin{cases}a_1=1\\a_2=3\\a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\end{cases}$
Powyższy wzór określa ciąg o wyrazach: (1,3,4,7,11,...)
Wyrazy tego ciągu określamy dodając do siebie dwa kolejne poprzednie wyrazy ciągu.
Aby obliczyć na przykład piąty wyraz ciągu stosujemy wzór a₅=a₃+a₄.

Definicja

Ciąg skończony jest to funkcja, która odwzorowuje zbiór {1,2,3,...,k} w niepusty zbiór Y.
Wartość funkcji dla argumentu n (n=1,2,3,...,k) oznaczamy przez i nazywamy n-tym wyrazem ciągu.Ciąg skończony oznaczamy przez lub .