Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Ciąg liczbowy

Definicja Definicja

Ciąg nieskończony (lub po prostu ciąg) jest to funkcja, która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych (bez zera) w niepusty zbiór Y.

Wartość funkcji dla argumentu n (n=1,2,3,...) oznaczamy przez a_n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciągi liczbowe oznaczamy przez (a_n) lub (a_1,a_2,a_3,...).

Jeżeli wyrazami ciągu są liczby, to taki ciąg nazywamy liczbowym.

Przykłady ciągów liczbowych

Oto kilka przykładów ciągów:
(1,2,3,4,5...)
(2,4,6,8,16,...)
(-5,-6,-7,-8,...)
(0,2,0,3,0,4,...)
(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...)

Jak widać ciąg stanowią kolejno (kolejność jest tutaj istotna) ułożone liczby według jakiegoś schematu. Schemat ten wyrażamy zwykle za pomocą wzoru.

Określanie ciągów liczbowych

Przykład Przykład

Wyrazimy za pomocą wzoru ciąg (2,4,6,8,...).
Widać, że wyrazami ciągu są liczby parzyste. Możemy więc zapisać, że n-ty wyraz ciągu wyraża się wzorem a_n=2n, a sam ciąg zapisać jako (2n).

Animacja

Animacja

Poniższa animacja ilustruje w jaki sposób tworzymy wyrazy ciągu na podstawie jego wzoru.

Teoria Ciąg liczbowy może być określony za pomocą wzoru rekurencyjnego oraz odpowiedniej liczby wyrazów. Znaczenie rekurencji polega na odwoływaniu się funkcji do samej siebie. Oto przykład takiego określenia ciągu:

Przykład Przykład

Ciąg jest określony w następujący sposób:
\begin{cases}a_1=1\\a_2=3\\a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\end{cases}
Powyższy wzór określa ciąg o wyrazach: (1,3,4,7,11,...)
Wyrazy tego ciągu określamy dodając do siebie dwa kolejne poprzednie wyrazy ciągu.
Aby obliczyć na przykład piąty wyraz ciągu stosujemy wzór a5=a3+a4.

Ciąg skończony

Definicja Definicja

Ciąg skończony jest to funkcja, która odwzorowuje zbiór {1,2,3,...,k} w niepusty zbiór Y.
Wartość funkcji dla argumentu n (n=1,2,3,...,k) oznaczamy przez a_n i nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg skończony oznaczamy przez (a_n) lub (a_1,a_2,a_3,...,a_k).

Przykład Przykład

Oto kilka przykładów ciągów skończonych:
(1,2,3,4,5)
(2,4,6,8)
(-5,-6,-7,-8,...,-100005)
(0,2,0,3,0,4,...,0,100)

Rodzaje ciągów liczbowych

Oto wybrane ciągi liczbowe i ich własności, które omawiamy w kolejnych artykułach:

W dalszej części lekcji omawiamy wykres ciągu liczbowego oraz jego własności.

Wzory

W poniższej tablicy przedstawiamy przydatne wzory, związane z ciągami liczbowymi. Wzory te stanowią podsumowanie działu - ciągi liczbowe. Omawiamy je w dalszych artykułach.

NazwaWzór
ciąg arytmetycznya_{n+1}-a_n=r
n-ty wyraz ciągu arytmetycznegoa_n=a_1+(n-1)r
własność wyrazów ciągu arytmetycznego a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
suma wyrazów ciągu arytmetycznegoS_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}
ciąg geometryczny\frac{a_{n+1}}{a_n}=q
n-ty wyraz ciągu geometrycznegoa_n=a_1\cdot q^{n-1}
własność wyrazów ciągu geometrycznegoa_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}
suma wyrazów ciągu geometrycznegoS_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}} \ dla \ q\neq 1 \\ S_n=a_1\cdot n, \ dla \ q=1
szereg geometrycznya_1+a_1\cdot{q}+a_1\cdot{q^2}+a_1\cdot{q^3}+...+a_1\cdot{q^{n-1}}+...
suma szeregu geometrycznegoS=\frac{a_1}{1-q}

Pytania

Co to jest ciąg liczbowy Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego jest jednym z przykładów ciągów liczbowych, określonych w taki sposób, że pierwszy jego wyraz jest zerem, drugi jednością, a każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. Oto kilkanaście pierwszych wyrazów ciągu Fibonacciego: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...


© medianauka.pl, 2009-08-20, ART-293







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Ciąg liczbowy

zadanie-ikonka Zadanie - ciąg, znajdowanie elementów ciągu
Napisać:
a) trzy początkowe wyrazy ciągu a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1} oraz znaleźć dziewiąty wyraz tego ciągu
b) pięć początkowych wyrazów ciągu
\begin{cases}a_1=2 \\ a_2=4 \\ a_n=a_{n-2}+2a_{n-1}, \ dla \ n\geq 3 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Wykres ciąguWykres ciągu
Jak sporządzić wykres ciągu?
Monotoniczność ciąguMonotoniczność ciągu
Kiedy ciąg liczbowy jest rosnący, malejący, a kiedy stały? Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-an.



© Media Nauka 2008-2018 r.