Ciąg liczbowy

Definicja

Ciąg nieskończony (lub po prostu ciąg) jest to funkcja, która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych (bez zera) w niepusty zbiór Y.

Wartość funkcji dla argumentu n (n=1,2,3,...) oznaczamy przez i nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciągi liczbowe oznaczamy przez lub .

Jeżeli wyrazami ciągu są liczby, to taki ciąg nazywamy liczbowym.

Przykłady ciągów liczbowych

Oto kilka przykładów ciągów:
(1,2,3,4,5...)
(2,4,6,8,16,...)
(-5,-6,-7,-8,...)
(0,2,0,3,0,4,...)
$(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...)$

Jak widać ciąg stanowią kolejno (kolejność jest tutaj istotna) ułożone liczby według jakiegoś schematu. Schemat ten wyrażamy zwykle za pomocą wzoru.

Określanie ciągów liczbowych

Przykład

Wyrazimy za pomocą wzoru ciąg (2,4,6,8,...).
Widać, że wyrazami ciągu są liczby parzyste. Możemy więc zapisać, że n-ty wyraz ciągu wyraża się wzorem , a sam ciąg zapisać jako .

Animacja

Poniższa animacja ilustruje w jaki sposób tworzymy wyrazy ciągu na podstawie jego wzoru.

Ciąg liczbowy może być określony za pomocą wzoru rekurencyjnego oraz odpowiedniej liczby wyrazów. Znaczenie rekurencji polega na odwoływaniu się funkcji do samej siebie. Oto przykład takiego określenia ciągu:

Przykład

Ciąg jest określony w następujący sposób:
$\begin{cases}a_1=1\\a_2=3\\a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\end{cases}$
Powyższy wzór określa ciąg o wyrazach: (1,3,4,7,11,...)
Wyrazy tego ciągu określamy dodając do siebie dwa kolejne poprzednie wyrazy ciągu.
Aby obliczyć na przykład piąty wyraz ciągu stosujemy wzór a₅=a₃+a₄.

Ciąg skończony

Definicja

Ciąg skończony jest to funkcja, która odwzorowuje zbiór {1,2,3,...,k} w niepusty zbiór Y.
Wartość funkcji dla argumentu n (n=1,2,3,...,k) oznaczamy przez i nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg skończony oznaczamy przez lub .

Przykład

Oto kilka przykładów ciągów skończonych:
(1,2,3,4,5)
(2,4,6,8)
(-5,-6,-7,-8,...,-100005)
(0,2,0,3,0,4,...,0,100)

Rodzaje ciągów liczbowych

Oto wybrane ciągi liczbowe i ich własności, które omawiamy w kolejnych artykułach:

W dalszej części lekcji omawiamy wykres ciągu liczbowego oraz jego własności.

Wzory

W poniższej tablicy przedstawiamy przydatne wzory, związane z ciągami liczbowymi. Wzory te stanowią podsumowanie działu - ciągi liczbowe. Omawiamy je w dalszych artykułach.

Nazwa	Wzór
ciąg arytmetyczny	$a_{n+1}-a_n=r$
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
własność wyrazów ciągu arytmetycznego	$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
suma wyrazów ciągu arytmetycznego	$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}$
ciąg geometryczny	$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$
n-ty wyraz ciągu geometrycznego	$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
własność wyrazów ciągu geometrycznego	$a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$
suma wyrazów ciągu geometrycznego	$S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}} \ dla \ q\neq 1 \\ S_n=a_1\cdot n, \ dla \ q=1$
szereg geometryczny	$a_1+a_1\cdot{q}+a_1\cdot{q^2}+a_1\cdot{q^3}+...+a_1\cdot{q^{n-1}}+...$
suma szeregu geometrycznego	$S=\frac{a_1}{1-q}$

Pytania

Co to jest ciąg liczbowy Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego jest jednym z przykładów ciągów liczbowych, określonych w taki sposób, że pierwszy jego wyraz jest zerem, drugi jednością, a każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. Oto kilkanaście pierwszych wyrazów ciągu Fibonacciego: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Ciąg liczbowy

Zadanie - ciąg, znajdowanie elementów ciągu
Napisać:
a) trzy początkowe wyrazy ciągu $a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1}$ oraz znaleźć dziewiąty wyraz tego ciągu
b) pięć początkowych wyrazów ciągu
$\begin{cases}a_1=2 \\ a_2=4 \\ a_n=a_{n-2}+2a_{n-1}, \ dla \ n\geq 3 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Wykres ciągu
Jak sporządzić wykres ciągu?

Monotoniczność ciągu
Kiedy ciąg liczbowy jest rosnący, malejący, a kiedy stały? Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-an.

Test wiedzy