Monotoniczność ciągu

Ciąg rosnący jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli a_n+1-a_n>0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg malejący jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli a_n+1-a_n<0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg niemalejący jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli a_n+1-a_n≥0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg nierosnący jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli a_n+1-a_n≤0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg stały jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy wyraz jest stały, czyli a_n+1-a_n=0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Jak zbadać monotoniczność ciągu?

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy a_n+1-a_nPrzeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład

Zbadaj monotoniczność ciągu a_n=2n.
Mamy:
a_n=2n
a_n+=2(n+1)=2n+2
Badamy różnicę
a_n+1-a_n=2n+2-2n=2>0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Przykład

Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\frac{n+1}{n}$ .
Mamy:
wzór
Badamy różnicę
wzór
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest ujemna - n(n+1) jest większe od zera, ponieważ n jest liczbą naturalną - więc ciąg jest malejący.

Ciągi niemonotoniczne

Nie każdy ciąg liczbowy jest monotoniczny. Oto przykłady ciągów niemonotonicznych, czyli takich, które nie są ciągami niemalejącymi ani nierosnącymi.

Przykład

(1,-1,2,-2,3,-3, ...)
(2,3,3,2,3,4,4,3, ...)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Zbadać monotoniczność ciągu:
a)

b) $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zbadać monotoniczność ciągu: a) $a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}, \ dla \ n\geq 4$
b) $\begin{cases}a_1=1\\ a_n=a_{n-1}-1, \ dla \ n\geq 2 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Ciąg liczbowy

Ciąg nieskończony jest to funkcja, odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w niepusty zbiór Y. Gdy wyrazami ciągu są liczby, to taki ciąg nazywamy liczbowym.

Wykres ciągu

Jak sporządzić wykres ciągu?

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.