Monotoniczność ciągu

Ciąg rosnący jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli a_n+1-a_n>0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg malejący jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli a_n+1-a_n<0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg niemalejący jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli a_n+1-a_n≥0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg nierosnący jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli a_n+1-a_n≤0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg stały jest to taki ciąg (a_n), w którym każdy wyraz jest stały, czyli a_n+1-a_n=0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy a_n+1-a_nPrzeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład

Zbadajmy monotoniczność ciągu a_n=2n.
Mamy:
a_n=2n
a_n+=2(n+1)=2n+2
Badamy różnicę
a_n+1-a_n=2n+2-2n=2>0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Przykład

Zbadajmy monotoniczność ciągu $a_n=\frac{n+1}{n}$ .
Mamy:
$a_n=\frac{n+1}{n}\\a_{n+1}=\frac{(n+1)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}$
Badamy różnicę
$a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{n(n+2)}{n(n+1)}-\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}=\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n(n+1)}=\\=\frac{-1}{n(n+1)}<0$
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest ujemna - n(n+1) jest większe od zera, ponieważ n jest liczbą naturalną - więc ciąg jest malejący.