Logo Media Nauka

Monotoniczność ciągu

Ciąg rosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an>0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg malejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an<0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg niemalejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an≥0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg nierosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an≤0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg stały jest to taki ciąg (an), w którym każdy wyraz jest stały, czyli an+1-an=0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Jak zbadać monotoniczność ciągu?

Teoria Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-anPrzeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład Przykład

Zbadaj monotoniczność ciągu an=2n.
Mamy:
an=2n
an+=2(n+1)=2n+2
Badamy różnicę
an+1-an=2n+2-2n=2>0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Przykład Przykład

Zbadaj monotoniczność ciągu a_n=\frac{n+1}{n}.
Mamy:
wzór
Badamy różnicę
wzór
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest ujemna - n(n+1) jest większe od zera, ponieważ n jest liczbą naturalną - więc ciąg jest malejący.

Ciągi niemonotoniczne

TeoriaNie każdy ciąg liczbowy jest monotoniczny. Oto przykłady ciągów niemonotonicznych, czyli takich, które nie są ciągami niemalejącymi ani nierosnącymi.

Przykład Przykład

(1,-1,2,-2,3,-3, ...)
(2,3,3,2,3,4,4,3, ...)


© medianauka.pl, 2009-08-21, ART-295





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Monotoniczność ciągu

zadanie-ikonka Zadanie - monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu:
a) a_n=n^2-2
b) a_n=\frac{(-1)^n}{n}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - badanie monotoniczności ciągów
Zbadać monotoniczność ciągu: a) a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}, \ dla \ n\geq 4
b) \begin{cases}a_1=1\\ a_n=a_{n-1}-1, \ dla \ n\geq 2 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Ciąg liczbowyCiąg liczbowy
Ciąg nieskończony jest to funkcja, odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w niepusty zbiór Y. Gdy wyrazami ciągu są liczby, to taki ciąg nazywamy liczbowym.
Wykres ciąguWykres ciągu
Jak sporządzić wykres ciągu?



© Media Nauka 2008-2018 r.