Logo Media Nauka

Monotoniczność ciągu

Ciąg rosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an>0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg malejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an<0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg niemalejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an≥0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg nierosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an≤0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Ciąg stały jest to taki ciąg (an), w którym każdy wyraz jest stały, czyli an+1-an=0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.

Jak zbadać monotoniczność ciągu?

Teoria Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-anPrzeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład Przykład

Zbadaj monotoniczność ciągu an=2n.
Mamy:
an=2n
an+=2(n+1)=2n+2
Badamy różnicę
an+1-an=2n+2-2n=2>0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Przykład Przykład

Zbadaj monotoniczność ciągu a_n=\frac{n+1}{n}.
Mamy:
wzór
Badamy różnicę
wzór
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest ujemna - n(n+1) jest większe od zera, ponieważ n jest liczbą naturalną - więc ciąg jest malejący.

Ciągi niemonotoniczne

TeoriaNie każdy ciąg liczbowy jest monotoniczny. Oto przykłady ciągów niemonotonicznych, czyli takich, które nie są ciągami niemalejącymi ani nierosnącymi.

Przykład Przykład

(1,-1,2,-2,3,-3, ...)
(2,3,3,2,3,4,4,3, ...)


© medianauka.pl, 2009-08-21, ART-295


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Monotoniczność ciągu

zadanie-ikonka Zadanie - monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu:
a) a_n=n^2-2
b) a_n=\frac{(-1)^n}{n}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - badanie monotoniczności ciągów
Zbadać monotoniczność ciągu: a) a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}, \ dla \ n\geq 4
b) \begin{cases}a_1=1\\ a_n=a_{n-1}-1, \ dla \ n\geq 2 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Ciąg liczbowyCiąg liczbowy
Ciąg nieskończony jest to funkcja, odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w niepusty zbiór Y. Gdy wyrazami ciągu są liczby, to taki ciąg nazywamy liczbowym.
Wykres ciąguWykres ciągu
Jak sporządzić wykres ciągu?




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.