Monotoniczność ciągu
Ciąg rosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an>0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.
Ciąg malejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an<0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.
Ciąg niemalejący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli an+1-an≥0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.
Ciąg nierosnący jest to taki ciąg (an), w którym każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli an+1-an≤0 dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.
Ciąg stały jest to taki ciąg (an), w którym każdy wyraz jest stały, czyli an+1-an=0
dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu k-elementowego.
Jak zbadać monotoniczność ciągu?
Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-anPrzeanalizujmy to na przykładzie.
Przykład
Zbadaj monotoniczność ciągu an=2n.
Mamy:
an=2n
an+=2(n+1)=2n+2
Badamy różnicę
an+1-an=2n+2-2n=2>0
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.
Przykład
Zbadaj monotoniczność ciągu .
Mamy:
Badamy różnicę
Różnica następnego i poprzedniego wyrazu jest ujemna - n(n+1) jest większe od zera, ponieważ n jest liczbą naturalną - więc ciąg jest malejący.
Ciągi niemonotoniczne
Nie każdy ciąg liczbowy jest monotoniczny. Oto przykłady ciągów niemonotonicznych, czyli takich, które nie są ciągami niemalejącymi ani nierosnącymi.
Przykład
(1,-1,2,-2,3,-3, ...)
(2,3,3,2,3,4,4,3, ...)
© medianauka.pl, 2009-08-21, ART-295
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Monotoniczność ciągu
Zadanie - monotoniczność ciągu
Zbadać monotoniczność ciągu:
a)
b)
Zadanie - badanie monotoniczności ciągów
Zbadać monotoniczność ciągu: a)
b)
Inne zagadnienia z tej lekcji

Ciąg nieskończony jest to funkcja, odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w niepusty zbiór Y. Gdy wyrazami ciągu są liczby, to taki ciąg nazywamy liczbowym.

Jak sporządzić wykres ciągu?

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.