Nauka » Matematyka » Monotoniczność ciągu

Zadanie - monotoniczność ciągu

Treść zadania:

Zbadać monotoniczność ciągu:

a) $a_n=n^2-2$

b) $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) $a_n=n^2-2 \\ a_{n+1}=(n+1)^2-2=n^2+2n+1-2=n^2+2n-1 \\ a_{n+1}-a_n=n^2+2n-1-(n^2-2)=\\ =\cancel{n^2}+2n-1-\cancel{n^2}+2=2n+1&gt0$

Ciąg jest rosnący.

b) $a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\frac{(-1)^n\cdot (-1)^1}{n+1}=-\frac{(-1)^n}{n+1} \\ a_{n+1}-a_n=-\frac{(-1)^n}{n+1}-\frac{(-1)^n}{n}=-\frac{(-1)^n\cdot n}{(n+1)n}-\frac{(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=$
$=\frac{-(-1)^n\cdot n-(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=\frac{-(-1)^n(n+n+1)}{(n+1)n}=\\ =-(-1)^n\cdot \frac{(2n+1)}{(n+1)n}$

Ponieważ znak różnicy kolejnych wyrazów ciągu zależy od n (o znaku decyduje potęga liczby -1), ciąg nie jest monotoniczny.

Rozwiązanie szczegółowe

Podpunkt a)

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy a_n+1-a_n.

$a_n=n^2-2 \\ a_{n+1}=(n+1)^2-2=n^2+2n+1-2=n^2+2n-1 \\ a_{n+1}-a_n=n^2+2n-1-(n^2-2)=\\ =\cancel{n^2}+2n-1-\cancel{n^2}+2=2n+1&gt0$

Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, stąd 2n+1 musi być liczbą dodatnią.

Ponieważ każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego (tzn. a_n+1-a_n>0), to wykazaliśmy, że ciąg a_n=n²-2 jest rosnący.

Podpunkt b)

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy a_n+1-a_n.

$a_n=\frac{(-1)^n}{n} \\ a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\frac{(-1)^n\cdot (-1)^1}{n+1}=-\frac{(-1)^n}{n+1} \\ a_{n+1}-a_n=-\frac{(-1)^n}{n+1}-\frac{(-1)^n}{n}=-\frac{(-1)^n\cdot n}{(n+1)n}-\frac{(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=$

Sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego ułamka. Teraz wyłączymy przed nawias czynnik -(-1)ⁿ

$=\frac{-(-1)^n\cdot n-(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=\frac{-(-1)^n(n+n+1)}{(n+1)n}=\\ =-(-1)^n\cdot \frac{(2n+1)}{(n+1)n}$ tło

Musimy teraz przeanalizować znak wyrażenia. Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, stąd ułamek zaznaczony kolorem fioletowym musi być liczbą dodatnią. Pozostaje znak czynnika -(-1)^n. Gdy n jest parzyste otrzymujemy liczbę ujemna, gdy n jest nieparzyste otrzymujemy liczbę dodatnią.

Ponieważ znak różnicy a_n+1-a_n zależy od wartości n, to oznacza, że badany ciąg nie jest ciągiem rosnącym, malejącym, nierosnącym, niemalejącym ani stałym. Mamy więc do czynienia z ciągiem niemonotonicznym.

Odpowiedź

a) Ciąg

jest rosnący.
b) Ciąg $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$ nie jest monotoniczny.

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Pokaż rozwiązanie zadania.