Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - monotoniczność ciągu


Zbadać monotoniczność ciągu:
a) a_n=n^2-2
b) a_n=\frac{(-1)^n}{n}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) a_n=n^2-2 \\ a_{n+1}=(n+1)^2-2=n^2+2n+1-2=n^2+2n-1 \\ a_{n+1}-a_n=n^2+2n-1-(n^2-2)=\\ =\cancel{n^2}+2n-1-\cancel{n^2}+2=2n+1&gt0

Ciąg jest rosnący.

b) a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\frac{(-1)^n\cdot (-1)^1}{n+1}=-\frac{(-1)^n}{n+1} \\ a_{n+1}-a_n=-\frac{(-1)^n}{n+1}-\frac{(-1)^n}{n}=-\frac{(-1)^n\cdot n}{(n+1)n}-\frac{(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=
=\frac{-(-1)^n\cdot n-(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=\frac{-(-1)^n(n+n+1)}{(n+1)n}=\\ =-(-1)^n\cdot \frac{(2n+1)}{(n+1)n}

Ponieważ znak różnicy kolejnych wyrazów ciągu zależy od n (o znaku decyduje potęga liczby -1), ciąg nie jest monotoniczny.

ksiązki Rozwiązanie szczegółowe

Podpunkt a)

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy an+1-an.

a_n=n^2-2 \\ a_{n+1}=(n+1)^2-2=n^2+2n+1-2=n^2+2n-1 \\ a_{n+1}-a_n=n^2+2n-1-(n^2-2)=\\ =\cancel{n^2}+2n-1-\cancel{n^2}+2=2n+1&gt0

Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, stąd 2n+1 musi być liczbą dodatnią.

Ponieważ każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego (tzn. an+1-an>0), to wykazaliśmy, że ciąg an=n2-2 jest rosnący.

Podpunkt b)

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy an+1-an.

a_n=\frac{(-1)^n}{n} \\ a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\frac{(-1)^n\cdot (-1)^1}{n+1}=-\frac{(-1)^n}{n+1} \\ a_{n+1}-a_n=-\frac{(-1)^n}{n+1}-\frac{(-1)^n}{n}=-\frac{(-1)^n\cdot n}{(n+1)n}-\frac{(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=

Sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego ułamka. Teraz wyłączymy przed nawias czynnik -(-1)n

=\frac{-(-1)^n\cdot n-(-1)^n\cdot (n+1)}{(n+1)n}=\frac{-(-1)^n(n+n+1)}{(n+1)n}=\\ =-(-1)^n\cdot \frac{(2n+1)}{(n+1)n} tło tło

Musimy teraz przeanalizować znak wyrażenia. Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, stąd ułamek zaznaczony kolorem fioletowym musi być liczbą dodatnią. Pozostaje znak czynnika -(-1)^n. Gdy n jest parzyste otrzymujemy liczbę ujemna, gdy n jest nieparzyste otrzymujemy liczbę dodatnią.

Ponieważ znak różnicy an+1-an zależy od wartości n, to oznacza, że badany ciąg nie jest ciągiem rosnącym, malejącym, nierosnącym, niemalejącym ani stałym. Mamy więc do czynienia z ciągiem niemonotonicznym.

ksiązki Odpowiedź

a) Ciąg a_n=n^2-2 jest rosnący.
b) Ciąg a_n=\frac{(-1)^n}{n} nie jest monotoniczny.

© medianauka.pl, 2010-01-18, ZAD-525





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.