Zadanie - monotoniczność ciągu
Treść zadania:
Zbadać monotoniczność ciągu:
a) \(a_n=n^2-2\)
b) \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\)
Rozwiązanie zadania uproszczone
a)
Ciąg jest rosnący.
b)
Ponieważ znak różnicy kolejnych wyrazów ciągu zależy od n (o znaku decyduje potęga liczby -1), ciąg nie jest monotoniczny.
Rozwiązanie szczegółowe
Podpunkt a)
Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy an+1-an.
Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, stąd 2n+1 musi być liczbą dodatnią.
Ponieważ każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego (tzn. an+1-an>0), to wykazaliśmy, że ciąg an=n2-2 jest rosnący.
Podpunkt b)
Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy an+1-an.
Sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego ułamka. Teraz wyłączymy przed nawias czynnik -(-1)n
Musimy teraz przeanalizować znak wyrażenia. Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, stąd ułamek zaznaczony kolorem fioletowym musi być liczbą dodatnią. Pozostaje znak czynnika -(-1)^n. Gdy n jest parzyste otrzymujemy liczbę ujemna, gdy n jest nieparzyste otrzymujemy liczbę dodatnią.
Ponieważ znak różnicy an+1-an zależy od wartości n, to oznacza, że badany ciąg nie jest ciągiem rosnącym, malejącym, nierosnącym, niemalejącym ani stałym. Mamy więc do czynienia z ciągiem niemonotonicznym.
Odpowiedź
a) Ciąg jest rosnący.b) Ciąg nie jest monotoniczny.
© medianauka.pl, 2010-01-18, ZAD-525
Zadania podobne
Zadanie nr 1.