Zadanie - badanie monotoniczności ciągów

b)

Rozwiązanie zadania uproszczone
a)
Ciąg jest rosnący.
b) Dla n>2:
Dla n=2:
Różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna - ciąg jest malejący.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Podpunkt a)
Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy an+1-an. Obliczamy te wyrazy.
![a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}=\frac{-(n-1)n}{-(n-2)}=\frac{(n-1)n}{n-2}=\frac{n^2-n}{n-2} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)[1-(n+1)]}{2-(n+1)}=\frac{(n+1)(1-n-1)}{2-n-1}=\frac{-n(n+1)}{-(n-1)}=\\ =\frac{n(n+1)}{n-1}=\frac{n^2+n}{n-1}](matematyka/wzory/zad137/2.gif)
Badamy znak wspomnianej wyżej różnicy dwóch kolejnych wyrazów ciągu

Skąd wiemy, że ułamek jest dodatni? Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, zgodnie z warunkami zadania większą lub równą 4. Zatem n>0, n-1>0, n-2>0, n-3>0 oraz cały ułamek musi być liczbą dodatnią.
Ponieważ znak różnicy an+1-an nie zależy od wartości n i jest dodatni, to oznacza, że badany ciąg jest ciągiem rosnącym.
Podpunkt b)
Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy an+1-an. Oznacza to, że badamy różnicę między wyrazem następnym i poprzedzającym go. Równie dobrze możemy zbadać różnicę an-an-1, gdyż nadal obliczamy różnicę dowolnych dwóch kolejnych wyrazów (podstawiając kolejne liczby naturalne zaczynając od liczby 2, badamy różnicę wyrazów drugiego i pierwszego, potem trzeciego i drugiego, czwartego i trzeciego i tak dalej). Ponieważ pierwszy wyraz ciągu jest dany i nie obliczamy go ze wzoru ogólnego, musimy dodatkowo sprawdzić znak różnicy wyrazów drugiego i pierwszego.
Dla n>2 stosujemy wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu:

Dla n=2:

Zatem różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna - ciąg jest malejący.
Odpowiedź

b) Ciąg jest malejący
© medianauka.pl, 2010-01-19, ZAD-527
Zadania podobne

Zbadać monotoniczność ciągu:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania