Strona główna » Matematyka » Monotoniczność ciągu

Zadanie - badanie monotoniczności ciągów

Zbadać monotoniczność ciągu: a) $a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}, \ dla \ n\geq 4$
b) $\begin{cases}a_1=1\\ a_n=a_{n-1}-1, \ dla \ n\geq 2 \end{cases}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) $a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}=\frac{-(n-1)n}{-(n-2)}=\frac{(n-1)n}{n-2}=\frac{n^2-n}{n-2} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)[1-(n+1)]}{2-(n+1)}=\frac{(n+1)(1-n-1)}{2-n-1}=\frac{-n(n+1)}{-(n-1)}=\\ =\frac{n(n+1)}{n-1}=\frac{n^2+n}{n-1}$
$a_{n+1}-a_n=\frac{n^2+n}{n-1}-\frac{n^2-n}{n-2}=\frac{(n^2+n)(n-2)}{(n-1)(n-2)}-\frac{(n^2-n)(n-1)}{(n-1)(n-2)}=\\ =\frac{n^3-2n^2+n^2-2n}{(n-1)(n-2)}-\frac{n^3-n^2-n^2+n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n^3-n^2-2n}{(n-1)(n-2)}-\frac{n^3-2n^2+n}{(n-1)(n-2)}= \\ =\frac{\cancel{n^3}-n^2-2n-\cancel{n^3}+2n^2-n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n^2-3n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n(n-3)}{(n-1)(n-2)}>0$

Ciąg jest rosnący.

b) Dla n>2:
$a_n=a_{n-1}-1 \\ a_n-a_{n-1}=-1<0$

Dla n=2:
$a_1=1 \\ a_2=a_1-1=0 \\ a_2-a_1=0-1=-1<0$
Różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna - ciąg jest malejący.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadaniu znaku różnicy a_n+1-a_n. Obliczamy te wyrazy.

$a_n=\frac{(1-n)n}{2-n}=\frac{-(n-1)n}{-(n-2)}=\frac{(n-1)n}{n-2}=\frac{n^2-n}{n-2} \\ a_{n+1}=\frac{(n+1)[1-(n+1)]}{2-(n+1)}=\frac{(n+1)(1-n-1)}{2-n-1}=\frac{-n(n+1)}{-(n-1)}=\\ =\frac{n(n+1)}{n-1}=\frac{n^2+n}{n-1}$

Badamy znak wspomnianej wyżej różnicy dwóch kolejnych wyrazów ciągu

$a_{n+1}-a_n=\frac{n^2+n}{n-1}-\frac{n^2-n}{n-2}=\frac{(n^2+n)(n-2)}{(n-1)(n-2)}-\frac{(n^2-n)(n-1)}{(n-1)(n-2)}=\\ =\frac{n^3-2n^2+n^2-2n}{(n-1)(n-2)}-\frac{n^3-n^2-n^2+n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n^3-n^2-2n}{(n-1)(n-2)}-\frac{n^3-2n^2+n}{(n-1)(n-2)}= \\ =\frac{\cancel{n^3}-n^2-2n-\cancel{n^3}+2n^2-n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n^2-3n}{(n-1)(n-2)}=\frac{n(n-3)}{(n-1)(n-2)}>0$

Skąd wiemy, że ułamek jest dodatni? Pamiętajmy, że n oznacza liczbę naturalną, zgodnie z warunkami zadania większą lub równą 4. Zatem n>0, n-1>0, n-2>0, n-3>0 oraz cały ułamek musi być liczbą dodatnią.

Ponieważ znak różnicy a_n+1-a_n nie zależy od wartości n i jest dodatni, to oznacza, że badany ciąg jest ciągiem rosnącym.

Podpunkt b)

Badanie monotoniczności ciągu sprowadza się do zbadania znaku różnicy a_n+1-a_n. Oznacza to, że badamy różnicę między wyrazem następnym i poprzedzającym go. Równie dobrze możemy zbadać różnicę a_n-a_n-1, gdyż nadal obliczamy różnicę dowolnych dwóch kolejnych wyrazów (podstawiając kolejne liczby naturalne zaczynając od liczby 2, badamy różnicę wyrazów drugiego i pierwszego, potem trzeciego i drugiego, czwartego i trzeciego i tak dalej). Ponieważ pierwszy wyraz ciągu jest dany i nie obliczamy go ze wzoru ogólnego, musimy dodatkowo sprawdzić znak różnicy wyrazów drugiego i pierwszego.

Dla n>2 stosujemy wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_{n-1}-1 \\ a_n-a_{n-1}=-1<0$

Dla n=2:

$a_1=1 \\ a_2=a_1-1=0 \\ a_2-a_1=0-1=-1<0$

Zatem różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest ujemna - ciąg jest malejący.