Ciąg geometryczny

Definicja

Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba $q\neq 0$ , że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Mówiąc inaczej, jeżeli iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym. Oto przykłady takich ciągów.

Przykład

Przykład ciągu	Iloraz ciągu geometrycznego
(1,2,4,8,...)	q=2
(-1,2,-4,8,...)	q=-2
(1,5,25,125)	q=5
$(1,\ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},...)$	$q=\frac{1}{2}$
$(1,\ \sqrt{2}, \ 2,\ 2\sqrt{2},...)$	$q=\sqrt{2}$

Jak zbudować ciąg geometryczny?

Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz q, to łatwo można budować pozostałe wyrazy ciągu. Wystarczy poprzedni wyraz pomnożyć przez iloraz q.

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, należy sprawdzić iloraz dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg $a_n=\frac{5}{2^n}$ jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=\frac{5}{2^(n+1)}=\frac{5}{2\cdot 2^n}$
Obliczamy iloraz
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{5}{2\cdot 2^n}}{\frac{5}{2^n}}=\frac{5}{2\cdot 2^n}\cdot \frac{2^n}{5}=\frac{1}{2}=const=r$
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taki sam - ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1$
Obliczamy iloraz
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^2+2n+1}{n^2}=1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2} \neq const$
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem geometrycznym.