Ciąg geometryczny

Co to jest ciąg geometryczny?

Definicja

Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba $q\neq 0$ , że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Liczbę q to tak zwany iloraz ciągu geometrycznego.

Mówiąc inaczej, jeżeli iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym. Oto przykłady takich ciągów.

Przykłady ciągów geometrycznych

Przykład ciągu	Iloraz ciągu geometrycznego
(1,2,4,8,...)	q=2
(-1,2,-4,8,...)	q=-2
(1,5,25,125)	q=5
	$q=\frac{1}{2}$
	$q=\sqrt{2}$

Jak sprawdzić czy ciąg jest geometryczny?

Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz q, to łatwo można budować pozostałe wyrazy ciągu. Wystarczy poprzedni wyraz pomnożyć przez iloraz q.

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, należy sprawdzić iloraz dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg $a_n=\frac{5}{2^n}$ jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=\frac{5}{2^(n+1)}=\frac{5}{2\cdot 2^n}$
Obliczamy iloraz
wzór
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taki sam - ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1$
Obliczamy iloraz

Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem geometrycznym.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Twierdzenie

Jeżeli (a_n) jest ciągiem geometrycznym, a q ilorazem ciągu geometrycznego, to dla każdego $n \in N_+$ zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie q=5 jest równy 3. Oblicz dziesiąty wyraz ciągu a₁₀.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.
$a_{10}=3\cdot 5^{(10-1)}=5859375$

Twierdzenie

Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

$a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Suma n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (a_n) wyraża się wzorem:

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg geometryczny , to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę $S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n - skladnikow}$

Przykład

Obliczmy sumę pierwszych 10-ciu wyrazów ciągu, którego
Z warunków zadania wynika, że jest to ciąg geometryczny. Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
a₁=1
n =10
q=5

Przykład

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a szósty wyraz jest równy 25. Obliczyć pierwszy wyraz ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Mamy więc z warunków zadania

Aby obliczyć iloraz q, dzielimy oba wyrazy przez siebie:

Więc
$q^2=5\\q=\sqrt{5},\ q=-\sqrt{5}$
Możliwe są więc dwa pierwsze wyrazy ciągu, które obliczamy z pierwszego zapisanego równania na czwarty wyraz ciągu:
wzór
lub

Ciąg geometryczny - wzory

W poniższej tabeli zamieszczono podstawowe wzory, będące podsumowaniem niniejszego artykułu.

Nazwa	Wzór
ciąg geometryczny	$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$
n-ty wyraz ciągu geometrycznego	$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
własność wyrazów ciągu geometrycznego	$a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$
suma wyrazów ciągu geometrycznego	$S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}} \ dla \ q\neq 1 \\ S_n=a_1\cdot n, \ dla \ q=1$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Ciąg geometryczny

Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy . Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A. $frac{5}{2}$
B. $frac{2}{5}$
C. $frac{3}{2}$
D. $frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Ciąg arytmetyczny
Ciąg jest arytmetyczny, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n spełniony jest warunek a_{n+1}-a_n=r.

Test wiedzy