Ciąg geometryczny
Co to jest ciąg geometryczny?
Definicja
Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba , że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

Liczbę q to tak zwany iloraz ciągu geometrycznego.
Mówiąc inaczej, jeżeli iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym. Oto przykłady takich ciągów.
Przykłady ciągów geometrycznych
Przykład ciągu | Iloraz ciągu geometrycznego |
---|---|
(1,2,4,8,...) | q=2 |
(-1,2,-4,8,...) | q=-2 |
(1,5,25,125) | q=5 |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Jak sprawdzić czy ciąg jest geometryczny?
Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz q, to łatwo można budować pozostałe wyrazy ciągu. Wystarczy poprzedni wyraz pomnożyć przez iloraz q.
Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, należy sprawdzić iloraz dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.
Przykład
Sprawdzimy, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
Obliczamy iloraz
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taki sam - ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Przykład
Sprawdzimy, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
Obliczamy iloraz
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem geometrycznym.
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Twierdzenie
Jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym, a q ilorazem ciągu geometrycznego, to dla każdego zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.
Przykład
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie q=5 jest równy 3. Oblicz dziesiąty wyraz ciągu a10.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu. Twierdzenie
Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

Suma wyrazów ciągu geometrycznego
Twierdzenie
Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Suma n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (an) wyraża się wzorem:

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg geometryczny , to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę
Przykład
Obliczmy sumę pierwszych 10-ciu wyrazów ciągu, którego
Z warunków zadania wynika, że jest to ciąg geometryczny. Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
a1=1
n =10
q=5
Przykład
Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a szósty wyraz jest równy 25. Obliczyć pierwszy wyraz ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Mamy więc z warunków zadania
Aby obliczyć iloraz q, dzielimy oba wyrazy przez siebie:
Więc
Możliwe są więc dwa pierwsze wyrazy ciągu, które obliczamy z pierwszego zapisanego równania na czwarty wyraz ciągu:
lub
Ciąg geometryczny - wzory
W poniższej tabeli zamieszczono podstawowe wzory, będące podsumowaniem niniejszego artykułu.
Nazwa | Wzór |
ciąg geometryczny | ![]() |
n-ty wyraz ciągu geometrycznego | ![]() |
własność wyrazów ciągu geometrycznego | ![]() |
suma wyrazów ciągu geometrycznego | ![]() |
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
© medianauka.pl, 2009-08-24, ART-307
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Ciąg geometryczny
Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy , a siódmy
. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.
Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.
Zadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg jest ciągiem geometrycznym?
Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?
Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?
Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+... jest zbieżny.
Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
A. q=1/3
B.
C.
D. q=3
Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Zadanie maturalne nr 13, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A.
B.
C.
D.
Inne zagadnienia z tej lekcji

Ciąg jest arytmetyczny, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n spełniony jest warunek a_{n+1}-a_n=r.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.