Ciąg geometryczny

Co to jest ciąg geometryczny?

Definicja

Ciąg \((a_n)\) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba \(q\neq 0\), że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego \(n<k\) w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz \(k\geq 3\) spełniony jest warunek:

\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)

Liczba \(q\) to tak zwany iloraz ciągu geometrycznego.

Mówiąc inaczej, jeżeli iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym. Oto przykłady takich ciągów.

Przykłady ciągów geometrycznych

Przykład ciągu	Iloraz ciągu geometrycznego
\((1,2,4,8,...)\)	\(q=2\)
\((-1,2,-4,8,...)\)	\(q=-2\)
\((1,5,25,125)\)	\(q=5\)
\((1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},...)\)	\(q=\frac{1}{2}\)
\((1, \sqrt{2}, 2, 2 \sqrt{2},...)\)	\(q=\sqrt{2}\)

Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny?

Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz \(q\), to łatwo można budować pozostałe wyrazy ciągu. Wystarczy poprzedni wyraz pomnożyć przez iloraz \(q\).

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, należy sprawdzić iloraz dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy ciąg \(a_n=\frac{5}{2^n}\) jest ciągiem geometrycznym.

Obliczamy:

\(a_{n+1}=\frac{5}{2^(n+1)}=\frac{5}{2\cdot 2^n}\)

Obliczamy iloraz

\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{5}{2\cdot 2^n}}{\frac{5}{2^n}}=\frac{5}{2\cdot 2^n} \cdot \frac{2^n}{5}=\frac{1}{2}=const=q\)

Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taki sam — ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Przykład 2

Sprawdzić, czy ciąg \(a_n=n^2\) jest ciągiem geometrycznym.

Obliczamy

\(a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1\)

Obliczamy iloraz

\(\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{n^2+2n+1}{n^2}= 1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\neq const\)

Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby \(n\). Dany ciąg nie jest więc ciągiem geometrycznym.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Twierdzenie

Jeżeli \((a_n)\) jest ciągiem geometrycznym, a \(q\) ilorazem ciągu geometrycznego, to dla każdego \(n \in N_+\) zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie \(q=5\) jest równy \(3\). Oblicz dziesiąty wyraz ciągu.

Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.

\(a_{10}=3\cdot 5^{(10-1)}=5859375\)

Twierdzenie

Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

\(a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\)

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Suma \(n\) kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego \((a_n)\) wyraża się wzorem:

\(S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\) dla \(q\neq 1\)

\(S_n=a_1\cdot n\) dla \(q=1\)

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg geometryczny \((a_1,a_2,a_3,...)\), to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę \(S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n - składników}\).

Przykład

Obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu geometrycznego, którego \(a_1=1, q=5\).

Z warunków zadania wynika, że jest to ciąg geometryczny. Możemy więc skorzystać wprost ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:

\(a_1=1\)

\(n=10\)

\(q=5\)

\(S_n=1\cdot \frac{1-5^{10}}{1-5}=\frac{1-9765625}{-4}=2441406\)

Ciągi geometryczne — wzory

W poniższej tabeli zamieszczono podstawowe wzory, będące podsumowaniem niniejszego artykułu.

Nazwa	Wzór
ciąg geometryczny	\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)
n-ty wyraz ciągu geometrycznego	\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)
własności wyrazów ciągu geometrycznego	\(a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\)
suma wyrazów ciągu geometrycznego	\(S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}} \ dla \ q\neq 1\) \(S_n=a_1\cdot n, \ dla \ q=1\)

Przykład zadania

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a szósty wyraz jest równy 25. Obliczyć pierwszy wyraz ciągu.

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Mamy więc z warunków zadania:

\(a_4=5=a_1\cdot q^{4-1}=a_1\cdot q^3\)

\(a_6=25=a_1\cdot q^{6-1}=a_1\cdot q^5\)

Aby znaleźć iloraz \(q\), dzielimy oba wyrazy przez siebie:

\(\frac{a_4}{a_6}=\frac{a_1\cdot q^3}{a_1\cdot q^5}=\frac{1}{q^2}=\frac{5}{25}\)

Więc

\(q^2=5\)

\(q=\sqrt{5}\) lub \(q=-\sqrt{5}\)

Możliwe są więc dwa pierwsze wyrazy ciągu, które obliczamy z pierwszego zapisanego równania na czwarty wyraz ciągu:

\(a_4=a_1\cdot q^3\)

\(a_1=\frac{a_4}{q^3}=\frac{5}{(\sqrt{5})^3} =\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

lub

\(a_1=\frac{5}{(-\sqrt{5})^3} =\frac{5}{-5\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).

Ciąg geometryczny

Definicja

Przykłady ciągów geometrycznych

Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny?

Przykład 1

Przykład 2

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Przykład

Twierdzenie

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Przykład

Ciągi geometryczne — wzory

Przykład zadania

Zadania z rozwiązaniami

Powiązane materiały