Ciąg geometryczny

Co to jest ciąg geometryczny?

Definicja

Ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba $q\neq 0$ , że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Liczbę q to tak zwany iloraz ciągu geometrycznego.

Mówiąc inaczej, jeżeli iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym. Oto przykłady takich ciągów.

Przykłady ciągów geometrycznych

Przykład ciągu	Iloraz ciągu geometrycznego
(1,2,4,8,...)	q=2
(-1,2,-4,8,...)	q=-2
(1,5,25,125)	q=5
	$q=\frac{1}{2}$
	$q=\sqrt{2}$

Jak sprawdzić czy ciąg jest geometryczny?

Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz q, to łatwo można budować pozostałe wyrazy ciągu. Wystarczy poprzedni wyraz pomnożyć przez iloraz q.

Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, należy sprawdzić iloraz dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.

Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg $a_n=\frac{5}{2^n}$ jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=\frac{5}{2^(n+1)}=\frac{5}{2\cdot 2^n}$
Obliczamy iloraz
wzór
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taki sam - ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Przykład

Sprawdzimy, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
$a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1$
Obliczamy iloraz

Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem geometrycznym.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Twierdzenie

Jeżeli (a_n) jest ciągiem geometrycznym, a q ilorazem ciągu geometrycznego, to dla każdego $n \in N_+$ zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.

Przykład

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie q=5 jest równy 3. Oblicz dziesiąty wyraz ciągu a₁₀.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.
$a_{10}=3\cdot 5^{(10-1)}=5859375$

Twierdzenie

Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

$a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Suma n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (a_n) wyraża się wzorem:

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg geometryczny , to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę $S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n - skladnikow}$

Przykład

Obliczmy sumę pierwszych 10-ciu wyrazów ciągu, którego
Z warunków zadania wynika, że jest to ciąg geometryczny. Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
a₁=1
n =10
q=5

Przykład

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a szósty wyraz jest równy 25. Obliczyć pierwszy wyraz ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Mamy więc z warunków zadania

Aby obliczyć iloraz q, dzielimy oba wyrazy przez siebie:

Więc
$q^2=5\\q=\sqrt{5},\ q=-\sqrt{5}$
Możliwe są więc dwa pierwsze wyrazy ciągu, które obliczamy z pierwszego zapisanego równania na czwarty wyraz ciągu:
wzór
lub