Ciąg geometryczny
Co to jest ciąg geometryczny?
Definicja
Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba , że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

Liczbę q to tak zwany iloraz ciągu geometrycznego.
Mówiąc inaczej, jeżeli iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym. Oto przykłady takich ciągów.
Przykłady ciągów geometrycznych
Przykład ciągu | Iloraz ciągu geometrycznego |
---|---|
(1,2,4,8,...) | q=2 |
(-1,2,-4,8,...) | q=-2 |
(1,5,25,125) | q=5 |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Jak sprawdzić czy ciąg jest geometryczny?
Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz q, to łatwo można budować pozostałe wyrazy ciągu. Wystarczy poprzedni wyraz pomnożyć przez iloraz q.
Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, należy sprawdzić iloraz dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.
Przykład
Sprawdzimy, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
Obliczamy iloraz
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taki sam - ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Przykład
Sprawdzimy, czy ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
Obliczamy iloraz
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby n. Dany ciąg nie jest więc ciągiem geometrycznym.
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Twierdzenie
Jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym, a q ilorazem ciągu geometrycznego, to dla każdego zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.
Przykład
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie q=5 jest równy 3. Oblicz dziesiąty wyraz ciągu a10.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu. Twierdzenie
Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

Suma wyrazów ciągu geometrycznego
Twierdzenie
Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Suma n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (an) wyraża się wzorem:

Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg geometryczny , to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę
Przykład
Obliczmy sumę pierwszych 10-ciu wyrazów ciągu, którego
Z warunków zadania wynika, że jest to ciąg geometryczny. Możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
a1=1
n =10
q=5
Przykład
Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a szósty wyraz jest równy 25. Obliczyć pierwszy wyraz ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Mamy więc z warunków zadania
Aby obliczyć iloraz q, dzielimy oba wyrazy przez siebie:
Więc
Możliwe są więc dwa pierwsze wyrazy ciągu, które obliczamy z pierwszego zapisanego równania na czwarty wyraz ciągu:
lub
Ciąg geometryczny - wzory
W poniższej tabeli zamieszczono podstawowe wzory, będące podsumowaniem niniejszego artykułu.
Nazwa | Wzór |
ciąg geometryczny | ![]() |
n-ty wyraz ciągu geometrycznego | ![]() |
własność wyrazów ciągu geometrycznego | ![]() |
suma wyrazów ciągu geometrycznego | ![]() |
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równyA. q=1/3
B.
![q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}](matematyka/wzory/m2015/13_1.gif)
C.
![q=\sqrt[3]{3}](matematyka/wzory/m2015/13_2.gif)
D. q=3
Zadanie nr 2 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy
A. 1/3
B. 1/√3
C. 3
D. √3
Zadanie nr 3 — maturalne.
Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1, w którym a1=√2, a2=2√2, a3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
- an=(√2)n
- an=2n/√2
- an=(√2/2)n
- an=(√2)n/2
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, żeA.

B.

C.

D.

Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Zadanie nr 9 — maturalne.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.Zadanie nr 11 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem
Zadanie nr 12 — maturalne.
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Zadanie nr 13.
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?Zadanie nr 14.
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?Zadanie nr 16.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.Zadanie nr 17.
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy

Inne zagadnienia z tej lekcji
Ciąg arytmetyczny

Ciąg jest arytmetyczny, jeżeli istnieje liczba r, że dla każdego n spełniony jest warunek a_{n+1}-a_n=r.
© medianauka.pl, 2009-08-24, ART-307