Logo Media Nauka

Zadanie - ciąg geometryczny

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{\sqrt{2}}, a siódmy wzór. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_5=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=\sqrt{2}
a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=a_1q^{7-1}=a_1q^6=\sqrt{2}
\begin{cases}a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}/:q^4 \\ a_1q^6=\sqrt{2}\end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{1}{\sqrt{2}q^4}\cdot q^6=\sqrt{2}/\cdot \sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{q^6}{q^4}=2 \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q^2=2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}
\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(-\sqrt{2})^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}
a_9=a_1q^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot(\sqrt{2})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2^4= \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 16=2\sqrt{2}


1)Dla q=\sqrt{2} mamy:
S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(\sqrt{2})^{10}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(2^{\frac{1}{2}})^{10}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-2^5)(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=
\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1+\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1+\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (31+31\sqrt{2})= \\ =\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

2) Dla q=-\sqrt{2} mamy:
S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(-\sqrt{2})^{10}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-32}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1-\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=
=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(-31)(1-\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1-\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (-31+31\sqrt{2})= \\ =-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

Odpowiedź:
a_9=2\sqrt{2}, \ S_{10}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4} \ lub \ S_{10}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu jest następujący:

a_n=a_1q^{n-1}

Wiemy z warunków zadania, że

a_5=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=\sqrt{2}

Korzystamy więc ze wzoru na n-ty wyraz ciągu:

a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=a_1q^{7-1}=a_1q^6=\sqrt{2}

Otrzymujemy układ równań, który możemy rozwiązać metodą podstawienia (zgodnie z definicją q jest różne od zera i możemy wykonać poniższe działania):

\begin{cases}a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}/:q^4 \\ a_1q^6=\sqrt{2}\end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{1}{\sqrt{2}q^4}\cdot q^6=\sqrt{2}/\cdot \sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{q^6}{q^4}=2 \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q^2=2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} tło tło

Otrzymaliśmy dwa układy równań ze względu na podwójne rozwiązanie drugiego równania w układzie. Teraz możemy obliczyć wyraz a1 w pierwszym równaniu.

\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(-\sqrt{2})^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\cdot {sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee  \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} tło tło tło tło

Mamy więc do czynienia z dwoma możliwymi ciągami. Aby obliczyć wartość dziewiątego wyrazu ciągu stosujemy bezpośrednio przytoczony tutaj na wstępie wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

a_9=a_1q^{9-1}=a_1q^8

Zauważamy, że w przypadku obu ciągów wyraz pierwszy jest ten sam, a iloraz q jest przeciwny, a ponieważ w dziewiątym wyrazie ciągu q występuje w parzystej potędze, więc w przypadku obu ciągów otrzymamy ten sam wynik. Dziewiąty wyraz w przypadku obu ciągów jest równy:

a_9=a_1q^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot(\sqrt{2})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2^4= \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 16=2\sqrt{2}

Pozostało nam obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu zgodnie ze wzorem:

S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Mamy więc dwa różne rozwiązania, gdyż mamy dwa możliwe ilorazy ciągu geometrycznego

Przypadek 1 - dla q=\sqrt{2}

S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(\sqrt{2})^{10}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(2^{\frac{1}{2}})^{10}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-2^5)(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}= tło tło tło tło

Kolorem niebieskim zaznaczono fragment obliczeń, w którym zastosowano wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1+\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1+\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (31+31\sqrt{2})= \\ =\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

Przypadek 2 - dla q=-\sqrt{2}

S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(-\sqrt{2})^{10}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-32}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1-\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=

=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(-31)(1-\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1-\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (-31+31\sqrt{2})= \\ =-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

ksiązki Odpowiedź

a_9=2\sqrt{2}, \ S_{10}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4} \ lub \ S_{10}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}

© medianauka.pl, 2010-01-05, ZAD-488



Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: (2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg (5,x,y,\frac{1}{25}) jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem a_n=(\frac{1}{2x-371})^n, dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+... jest zbieżny.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
C. q=\sqrt[3]{3}
D. q=3


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.