Nauka » Matematyka » Ciąg geometryczny

Zadanie - ciąg geometryczny

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy

. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_5=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=\sqrt{2}$
$a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=a_1q^{7-1}=a_1q^6=\sqrt{2}$
$\begin{cases}a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}/:q^4 \\ a_1q^6=\sqrt{2}\end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{1}{\sqrt{2}q^4}\cdot q^6=\sqrt{2}/\cdot \sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{q^6}{q^4}=2 \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q^2=2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$
$\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(-\sqrt{2})^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$
$a_9=a_1q^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot(\sqrt{2})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2^4= \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 16=2\sqrt{2}$

1)Dla $q=\sqrt{2}$ mamy:
$S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(\sqrt{2})^{10}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(2^{\frac{1}{2}})^{10}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-2^5)(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=$
$\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1+\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1+\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (31+31\sqrt{2})= \\ =\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

2) Dla $q=-\sqrt{2}$ mamy:
$S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(-\sqrt{2})^{10}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-32}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1-\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=$
$=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(-31)(1-\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1-\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (-31+31\sqrt{2})= \\ =-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

Odpowiedź:
$a_9=2\sqrt{2}, \ S_{10}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4} \ lub \ S_{10}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu jest następujący:

$a_n=a_1q^{n-1}$

Wiemy z warunków zadania, że

$a_5=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=\sqrt{2}$

Korzystamy więc ze wzoru na n-ty wyraz ciągu:

$a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_7=a_1q^{7-1}=a_1q^6=\sqrt{2}$

Otrzymujemy układ równań, który możemy rozwiązać metodą podstawienia (zgodnie z definicją q jest różne od zera i możemy wykonać poniższe działania):

$\begin{cases}a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}/:q^4 \\ a_1q^6=\sqrt{2}\end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{1}{\sqrt{2}q^4}\cdot q^6=\sqrt{2}/\cdot \sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{q^6}{q^4}=2 \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q^2=2 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$ tło

Otrzymaliśmy dwa układy równań ze względu na podwójne rozwiązanie drugiego równania w układzie. Teraz możemy obliczyć wyraz a₁ w pierwszym równaniu.

$\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(-\sqrt{2})^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases} \\ \frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\cdot {sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$ tło

Mamy więc do czynienia z dwoma możliwymi ciągami. Aby obliczyć wartość dziewiątego wyrazu ciągu stosujemy bezpośrednio przytoczony tutaj na wstępie wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_9=a_1q^{9-1}=a_1q^8$

Zauważamy, że w przypadku obu ciągów wyraz pierwszy jest ten sam, a iloraz q jest przeciwny, a ponieważ w dziewiątym wyrazie ciągu q występuje w parzystej potędze, więc w przypadku obu ciągów otrzymamy ten sam wynik. Dziewiąty wyraz w przypadku obu ciągów jest równy:

$a_9=a_1q^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot(\sqrt{2})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2^4= \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 16=2\sqrt{2}$

Pozostało nam obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu zgodnie ze wzorem:

$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

Mamy więc dwa różne rozwiązania, gdyż mamy dwa możliwe ilorazy ciągu geometrycznego

Przypadek 1 - dla $q=\sqrt{2}$

$S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(\sqrt{2})^{10}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(2^{\frac{1}{2}})^{10}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-2^5)(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=$ tło

Kolorem niebieskim zaznaczono fragment obliczeń, w którym zastosowano wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1+\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1+\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (31+31\sqrt{2})= \\ =\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

Przypadek 2 - dla $q=-\sqrt{2}$

$S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(-\sqrt{2})^{10}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-32}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1-\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=$

$=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(-31)(1-\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1-\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (-31+31\sqrt{2})= \\ =-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

Odpowiedź

$a_9=2\sqrt{2}, \ S_{10}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4} \ lub \ S_{10}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

Zadania podobne

Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A. $frac{5}{2}$
B. $frac{2}{5}$
C. $frac{3}{2}$
D. $frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2021

Trzywyrazowy ciąg (15, 3x, 5/3) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd
wynika, że

A. x = 3/5

B. x = 4/5

C. x = 1

D. x = 5/3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2018

Dany jest ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest

arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2018

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n≥1, w którym a₁=√2, a₂=2√2, a₃=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

a_n=(√2)ⁿ
a_n=2ⁿ/√2
a_n=(√2/2)ⁿ
a_n=(√2)ⁿ/2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2019

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a₅/a₃=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy

A. 1/3

B. 1/√3

C. 3

D. √3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2019 - poziom rozszerzony

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny, ciąg (a +1, b + 5, c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a +b + c = 39. Oblicz a, b, c.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 33, matura 2020

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n ≥ 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a₁ - 5a₂ + a₃= 0. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału ⟨2√2, 3√2⟩.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2020 - poziom rozszerzony

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a₁, a₂ , a₃) spełniona jest równość a₁ + a₂ + a₃ = 21/4. Wyrazy a₁, a₂ , a₃ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a₁.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.