Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone


Oznaczenia i dane:
a - głębokość
b - szerokość
c - długość
V - objętość basenu
Długości krawędzi tworzą ciąg geometryczny (a,b,c)

a=2,5 m
V=1000000 l = 106 dm3=106∙10-3m3=103 m3

Mamy ciąg
(a,aq,aq2)
V=abc \\ V=a\cdot aq \cdot aq^2 \\ V=a^3q^3 /:a^3 \\ q^3=\frac{V}{a^3} \\ q=\frac{\sqrt[3]{V}}{a} \\ q=\frac{\sqrt[3]{10^3m^3}}{2,5 m}=\frac{10 m}{2,5 m}=4
a=2,5 m \\ b=aq=2,5 m \cdot 4 = \underline{10 m} \\ c=aq^2=2,5 m \cdot 16=\underline{40 m}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

prostopadłościan - rysunek pomocniczy

Sporządzamy prosty rysunek i nanosimy na niego oznaczenia.

Oznaczenia i dane:
a - głębokość
b - szerokość
c - długość
V - objętość basenu


a=2,5 m
V=1000000 l = 1000000 dm3=1000000∙(0,1)3m3=1000000∙0,001 m3=1000 m3

Jeżeli w zadaniach pojawiają się różne jednostki miar (przedrostki), to zaczynamy od sprowadzenia ich do jednolitej postaci. Jeden litr to decymetr sześcienny, natomiast jeden decymetr, to 0,1 m. Ponieważ mamy tutaj metry sześcienne, to liczbę 0,1 podnosimy do trzeciej potęgi

Głębokość, szerokość i długość tworzą ciąg geometryczny (a, b, c). Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący:

a_n=a_1q^{n-1}

Możemy więc zapisać w innej postaci wyrazy naszego ciągu:

a_1=a \\ a_2=a_1q=aq=b \\ a_3=a_1q^2=aq^2=c

Wyraziliśmy długości wszystkich krawędzi przez daną długość a oraz iloraz q, który należy obliczyć korzystając z informacji o objętości basenu.

Wzór na objętość prostopadłościanu jest następujący:

V=abc

Podstawiamy więc do wzoru na objętość prostopadłościanu obliczone długości krawędzi oraz wartość liczbową objętości:

V=abc \\ V=a\cdot aq \cdot aq^2 \\ V=a^3q^3 /:a^3 \\ q^3=\frac{V}{a^3} \\ q=\frac{\sqrt[3]{V}}{a} \\ q=\frac{\sqrt[3]{10^3m^3}}{2,5 m}=\frac{10 m}{2,5 m}=4

Możemy więc teraz obliczyć wartości b i c, korzystając z wyznaczonych wcześniej równań:

a=2,5 m \\ b=aq=2,5 m \cdot 4 = \underline{10 m} \\ c=aq^2=2,5 m \cdot 16=\underline{40 m}

ksiązki Odpowiedź

Basen ma długość 40 m i szerokość 10 m.

© medianauka.pl, 2010-01-06, ZAD-491





Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: (2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{\sqrt{2}}, a siódmy wzór. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg (5,x,y,\frac{1}{25}) jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem a_n=(\frac{1}{2x-371})^n, dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+... jest zbieżny.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
C. q=\sqrt[3]{3}
D. q=3


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.