Nauka » Matematyka » Ciąg geometryczny

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Rozwiązanie zadania uproszczone

Oznaczenia i dane:
a - głębokość
b - szerokość
c - długość
V - objętość basenu
Długości krawędzi tworzą ciąg geometryczny (a,b,c)

a=2,5 m
V=1000000 l = 10⁶ dm³=10⁶∙10^-3m³=10³ m³

Mamy ciąg
(a,aq,aq²)
$V=abc \\ V=a\cdot aq \cdot aq^2 \\ V=a^3q^3 /:a^3 \\ q^3=\frac{V}{a^3} \\ q=\frac{\sqrt[3]{V}}{a} \\ q=\frac{\sqrt[3]{10^3m^3}}{2,5 m}=\frac{10 m}{2,5 m}=4$
$a=2,5 m \\ b=aq=2,5 m \cdot 4 = \underline{10 m} \\ c=aq^2=2,5 m \cdot 16=\underline{40 m}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy prosty rysunek i nanosimy na niego oznaczenia.

Oznaczenia i dane:
a - głębokość
b - szerokość
c - długość
V - objętość basenu

a=2,5 m
V=1000000 l = 1000000 dm³=1000000∙(0,1)³m³=1000000∙0,001 m³=1000 m³

Jeżeli w zadaniach pojawiają się różne jednostki miar (przedrostki), to zaczynamy od sprowadzenia ich do jednolitej postaci. Jeden litr to decymetr sześcienny, natomiast jeden decymetr, to 0,1 m. Ponieważ mamy tutaj metry sześcienne, to liczbę 0,1 podnosimy do trzeciej potęgi

Głębokość, szerokość i długość tworzą ciąg geometryczny (a, b, c). Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący:

$a_n=a_1q^{n-1}$

Możemy więc zapisać w innej postaci wyrazy naszego ciągu:

$a_1=a \\ a_2=a_1q=aq=b \\ a_3=a_1q^2=aq^2=c$

Wyraziliśmy długości wszystkich krawędzi przez daną długość a oraz iloraz q, który należy obliczyć korzystając z informacji o objętości basenu.

Wzór na objętość prostopadłościanu jest następujący:

Podstawiamy więc do wzoru na objętość prostopadłościanu obliczone długości krawędzi oraz wartość liczbową objętości:

$V=abc \\ V=a\cdot aq \cdot aq^2 \\ V=a^3q^3 /:a^3 \\ q^3=\frac{V}{a^3} \\ q=\frac{\sqrt[3]{V}}{a} \\ q=\frac{\sqrt[3]{10^3m^3}}{2,5 m}=\frac{10 m}{2,5 m}=4$

Możemy więc teraz obliczyć wartości b i c, korzystając z wyznaczonych wcześniej równań:

$a=2,5 m \\ b=aq=2,5 m \cdot 4 = \underline{10 m} \\ c=aq^2=2,5 m \cdot 16=\underline{40 m}$

Odpowiedź

Basen ma długość 40 m i szerokość 10 m.

Zadania podobne

Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy

. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania