Strona główna » Matematyka » Właściwości ciągu geometrycznego

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Rozwiązanie zadania uproszczone

Oznaczenia i dane:
a - głębokość
b - szerokość
c - długość
V - objętość basenu
Długości krawędzi tworzą ciąg geometryczny (a,b,c)

a=2,5 m
V=1000000 l = 10⁶ dm³=10⁶∙10^-3m³=10³ m³

Mamy ciąg
(a,aq,aq²)
$V=abc \\ V=a\cdot aq \cdot aq^2 \\ V=a^3q^3 /:a^3 \\ q^3=\frac{V}{a^3} \\ q=\frac{\sqrt[3]{V}}{a} \\ q=\frac{\sqrt[3]{10^3m^3}}{2,5 m}=\frac{10 m}{2,5 m}=4$
$a=2,5 m \\ b=aq=2,5 m \cdot 4 = \underline{10 m} \\ c=aq^2=2,5 m \cdot 16=\underline{40 m}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy prosty rysunek i nanosimy na niego oznaczenia.

Oznaczenia i dane:
a - głębokość
b - szerokość
c - długość
V - objętość basenu

a=2,5 m
V=1000000 l = 1000000 dm³=1000000∙(0,1)³m³=1000000∙0,001 m³=1000 m³

Jeżeli w zadaniach pojawiają się różne jednostki miar (przedrostki), to zaczynamy od sprowadzenia ich do jednolitej postaci. Jeden litr to decymetr sześcienny, natomiast jeden decymetr, to 0,1 m. Ponieważ mamy tutaj metry sześcienne, to liczbę 0,1 podnosimy do trzeciej potęgi

Głębokość, szerokość i długość tworzą ciąg geometryczny (a, b, c). Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący:

$a_n=a_1q^{n-1}$

Możemy więc zapisać w innej postaci wyrazy naszego ciągu:

$a_1=a \\ a_2=a_1q=aq=b \\ a_3=a_1q^2=aq^2=c$

Wyraziliśmy długości wszystkich krawędzi przez daną długość a oraz iloraz q, który należy obliczyć korzystając z informacji o objętości basenu.

Wzór na objętość prostopadłościanu jest następujący:

Podstawiamy więc do wzoru na objętość prostopadłościanu obliczone długości krawędzi oraz wartość liczbową objętości:

$V=abc \\ V=a\cdot aq \cdot aq^2 \\ V=a^3q^3 /:a^3 \\ q^3=\frac{V}{a^3} \\ q=\frac{\sqrt[3]{V}}{a} \\ q=\frac{\sqrt[3]{10^3m^3}}{2,5 m}=\frac{10 m}{2,5 m}=4$

Możemy więc teraz obliczyć wartości b i c, korzystając z wyznaczonych wcześniej równań:

$a=2,5 m \\ b=aq=2,5 m \cdot 4 = \underline{10 m} \\ c=aq^2=2,5 m \cdot 16=\underline{40 m}$