Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią


Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone


Oznaczenia i dane:
a - głębokość
b - szerokość
c - długość
V - objętość basenu
Długości krawędzi tworzą ciąg geometryczny (a,b,c)

a=2,5 m
V=1000000 l = 106 dm3=106∙10-3m3=103 m3

Mamy ciąg
(a,aq,aq2)
V=abc \\ V=a\cdot aq \cdot aq^2 \\ V=a^3q^3 /:a^3 \\ q^3=\frac{V}{a^3} \\ q=\frac{\sqrt[3]{V}}{a} \\ q=\frac{\sqrt[3]{10^3m^3}}{2,5 m}=\frac{10 m}{2,5 m}=4
a=2,5 m \\ b=aq=2,5 m \cdot 4 = \underline{10 m} \\ c=aq^2=2,5 m \cdot 16=\underline{40 m}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

prostopadłościan - rysunek pomocniczy

Sporządzamy prosty rysunek i nanosimy na niego oznaczenia.

Oznaczenia i dane:
a - głębokość
b - szerokość
c - długość
V - objętość basenu


a=2,5 m
V=1000000 l = 1000000 dm3=1000000∙(0,1)3m3=1000000∙0,001 m3=1000 m3

Jeżeli w zadaniach pojawiają się różne jednostki miar (przedrostki), to zaczynamy od sprowadzenia ich do jednolitej postaci. Jeden litr to decymetr sześcienny, natomiast jeden decymetr, to 0,1 m. Ponieważ mamy tutaj metry sześcienne, to liczbę 0,1 podnosimy do trzeciej potęgi

Głębokość, szerokość i długość tworzą ciąg geometryczny (a, b, c). Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący:

a_n=a_1q^{n-1}

Możemy więc zapisać w innej postaci wyrazy naszego ciągu:

a_1=a \\ a_2=a_1q=aq=b \\ a_3=a_1q^2=aq^2=c

Wyraziliśmy długości wszystkich krawędzi przez daną długość a oraz iloraz q, który należy obliczyć korzystając z informacji o objętości basenu.

Wzór na objętość prostopadłościanu jest następujący:

V=abc

Podstawiamy więc do wzoru na objętość prostopadłościanu obliczone długości krawędzi oraz wartość liczbową objętości:

V=abc \\ V=a\cdot aq \cdot aq^2 \\ V=a^3q^3 /:a^3 \\ q^3=\frac{V}{a^3} \\ q=\frac{\sqrt[3]{V}}{a} \\ q=\frac{\sqrt[3]{10^3m^3}}{2,5 m}=\frac{10 m}{2,5 m}=4

Możemy więc teraz obliczyć wartości b i c, korzystając z wyznaczonych wcześniej równań:

a=2,5 m \\ b=aq=2,5 m \cdot 4 = \underline{10 m} \\ c=aq^2=2,5 m \cdot 16=\underline{40 m}

ksiązki Odpowiedź

Basen ma długość 40 m i szerokość 10 m.

© medianauka.pl, 2010-01-06, ZAD-491





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.