Nauka » Matematyka » Ciąg geometryczny

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

Rozwiązanie zadania

Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |q|<1. Musimy znaleźć zatem iloraz ciągu geometrycznego q. Obliczymy go ze wzoru:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Obliczamy więc n-ty, (n+1)-ty wyraz ciągu i dzielimy przez siebie:

$a_n=(\frac{1}{2x-371})^n\\ a_{(n+1)}=(\frac{1}{2x-371})^{(n+1)}=(\frac{1}{2x-371})^n\cdot \frac{1}{2x-371}\\ q=\frac{a_{(n+1)}}{a_n}=\frac{(\frac{1}{2x-371})^n\cdot \frac{1}{2x-371}}{(\frac{1}{2x-371})^n}=\frac{1}{2x-371}$

Badamy teraz warunek zbieżności |q|<1. Zauważ, że q jest równe wyrazowi a₁. Możemy więc opuścić wartość bezwzględną.

$\frac{1}{2x-371}<1\\ \frac{1}{2x-371}-1<0\\ \frac{1}{2x-371}-\frac{2x-371}{2x-371}<0\\ \frac{1-2x+371}{2x-371}<0\\ \frac{-2x+372}{2x-371}<0/\cdot(-1)\\ \frac{2x-372}{2x-371}>0\\ \frac{x-186}{x-185,5}>0\\ (x-186)(x-185,5)>0$

Zbadamy dla jakich wartości powyższy iloczyn przyjmuje dodatnie wartości. Miejscami zerowymi są 185,6 i 186. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu.

$x\in (-\infty;185,5)\cup (186;+\infty)$

Z warunków zadania wynika jeszcze, że każdy wyraz ciągu geometrycznego jest dodatni. zbadajmy ten warunek. Dla dodatniego n mamy:

$(\frac{1}{2x-371})^n>0\\ \frac{1}{2x-371}>0\\ 2x-371>0 \\ 2x>371 \\ x>185,5$

Porównujemy oba warunki i otrzymujemy rozwiązanie zadania: x∈(186;+∞). Najmniejsza liczba całkowita, który spełnia ten warunek to 187.

Odpowiedź

187

Zadania podobne

Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy

. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania