Strona główna » Matematyka » Ciąg geometryczny

zadanie

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

Rozwiązanie zadania

Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |q|<1. Musimy znaleźć zatem iloraz ciągu geometrycznego q. Obliczymy go ze wzoru:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Obliczamy więc n-ty, (n+1)-ty wyraz ciągu i dzielimy przez siebie:

$a_n=(\frac{1}{2x-371})^n\\ a_{(n+1)}=(\frac{1}{2x-371})^{(n+1)}=(\frac{1}{2x-371})^n\cdot \frac{1}{2x-371}\\ q=\frac{a_{(n+1)}}{a_n}=\frac{(\frac{1}{2x-371})^n\cdot \frac{1}{2x-371}}{(\frac{1}{2x-371})^n}=\frac{1}{2x-371}$

Badamy teraz warunek zbieżności |q|<1. Zauważ, że q jest równe wyrazowi a₁. Możemy więc opuścić wartość bezwzględną.

$\frac{1}{2x-371}<1\\ \frac{1}{2x-371}-1<0\\ \frac{1}{2x-371}-\frac{2x-371}{2x-371}<0\\ \frac{1-2x+371}{2x-371}<0\\ \frac{-2x+372}{2x-371}<0/\cdot(-1)\\ \frac{2x-372}{2x-371}>0\\ \frac{x-186}{x-185,5}>0\\ (x-186)(x-185,5)>0$

Zbadamy dla jakich wartości powyższy iloczyn przyjmuje dodatnie wartości. Miejscami zerowymi są 185,6 i 186. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu.

$x\in (-\infty;185,5)\cup (186;+\infty)$

Z warunków zadania wynika jeszcze, że każdy wyraz ciągu geometrycznego jest dodatni. zbadajmy ten warunek. Dla dodatniego n mamy:

$(\frac{1}{2x-371})^n>0\\ \frac{1}{2x-371}>0\\ 2x-371>0 \\ 2x>371 \\ x>185,5$

Porównujemy oba warunki i otrzymujemy rozwiązanie zadania: x∈(186;+∞). Najmniejsza liczba całkowita, który spełnia ten warunek to 187.

Odpowiedź

187

© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3277

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Historia fizyki

Historia fizyki
Andrzej Kajetan Wróblewski

Atlas ryb polskich

Atlas ryb polskich
dr hab. inż. Bogdan Wziątek, Łukasz Kolasa

Elementy mechaniki kwantowej dla filozofów

Elementy mechaniki kwantowej dla filozofów
Michał Heller

Przewodnik Collinsa - Drzewa

Przewodnik Collinsa - Drzewa
Owen Johnson, David More

© Media Nauka 2008-2017 r.