Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania
Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |q|<1. Musimy znaleźć zatem iloraz ciągu geometrycznego q. Obliczymy go ze wzoru:

Obliczamy więc n-ty, (n+1)-ty wyraz ciągu i dzielimy przez siebie:

Badamy teraz warunek zbieżności |q|<1. Zauważ, że q jest równe wyrazowi a1. Możemy więc opuścić wartość bezwzględną.

Zbadamy dla jakich wartości powyższy iloczyn przyjmuje dodatnie wartości. Miejscami zerowymi są 185,6 i 186. Rozwiązanie odczytujemy z wykresu.


Z warunków zadania wynika jeszcze, że każdy wyraz ciągu geometrycznego jest dodatni. zbadajmy ten warunek. Dla dodatniego n mamy:

Porównujemy oba warunki i otrzymujemy rozwiązanie zadania: x∈(186;+∞). Najmniejsza liczba całkowita, który spełnia ten warunek to 187.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3277
Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

Pokaż rozwiązanie zadania

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy


Pokaż rozwiązanie zadania

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości x i y ciąg

Pokaż rozwiązanie zadania

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Pokaż rozwiązanie zadania

W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
A. q=1/3
B.
![q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}](matematyka/wzory/m2015/13_1.gif)
C.
![q=\sqrt[3]{3}](matematyka/wzory/m2015/13_2.gif)
D. q=3
Pokaż rozwiązanie zadania

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.
Pokaż rozwiązanie zadania

Trzywyrazowy ciąg (15, 3x, 5/3) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd
wynika, że
A. x = 3/5
B. x = 4/5
C. x = 1
D. x = 5/3
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1, w którym a1=√2, a2=2√2, a3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
- an=(√2)n
- an=2n/√2
- an=(√2/2)n
- an=(√2)n/2
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy
A. 1/3
B. 1/√3
C. 3
D. √3
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny, ciąg (a +1, b + 5, c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a +b + c = 39. Oblicz a, b, c.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an), określonego dla n ≥ 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a1 - 5a2 + a3= 0. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału 〈2√2, 3√2〉.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1, a2 , a3) spełniona jest równość a1 + a2 + a3 = 21/4. Wyrazy a1, a2 , a3 są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a1.
Pokaż rozwiązanie zadania