Zadanie maturalne nr 13, matura 2018

Rozwiązanie zadania

Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba , że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego n<k w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz k≥3 spełniony jest warunek:

\( \frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)

Wzór na n-ty wyraz ciągu:

\( a_{n}=a_1\cdot q^{n-1}\)

Obliczmy najpierw iloraz q na podstawie dwóch pierwszych wyrazów ciągu:

\( q=\frac{a_{2}}{a_1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\)

Wstawiamy wyliczone q do wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

\( a_{n}=a_1\cdot q^{n-1}=\sqrt{2}\cdot 2^{(n-1)}=\sqrt{2}\cdot \frac{2^n}{2^1}=2^n\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{2^2}{\sqrt{2}}\)

W rachunkach skorzystaliśmy z jednej własności potęgowania:

\( a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-01-03, ZAD-4595

Zadania podobne

Dany jest ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest

1. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
2. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
3. geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
4. geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a₅/a₃=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy

A. 1/3

B. 1/√3

C. 3

D. √3