Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Rozwiązanie zadania uproszczone
Ceny za poszczególne metry głębokości studni tworzą ciąg geometryczny:






W przybliżeniu:

Dysponując kwotą 1000 zł można wykopać studnię o głębokości 16 m.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Uszeregujmy ceny każdego metra wykopania studni w złotych i spróbujmy znaleźć zależność między nimi:

Spójrzmy teraz na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

Mamy więc w naszym przypadku do czynienia z ciągiem geometrycznym. Możemy zapisać, że

Możemy zapłacić co najwyżej 1000 zł, więc suma kosztów za kolejne metry studni może być mniejsza lub równa 1000. Suma ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:

Otrzymujemy więc nierówność, w której niewiadomą jest numer wyrazu ciągu (tożsamy z numerem kolejnego metra):

Otrzymaliśmy nierówność wykładniczą. Zauważmy, że n jest liczbą naturalną więc możemy tutaj stosować zaokrąglenia. Zauważmy że

Musimy doprowadzić liczby po obu stronach nierówności do potęg o tych samych podstawach. Musimy skorzystać z własności logarytmów:

Możemy więc napisać:

Podstawa potęgi jest większa od jedności, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji.

Skorzystajmy jeszcze z innej własności logarytmów:

Można więc napisać:

Musimy oszacować logarytm. Zauważamy, że 23=8<10, natomiast 24=16>10. Szukamy więc liczby między 3 i 4. Szacujemy dalej: 23.3≈9.85<10, natomiast 23.4≈10.56>10. Ponieważ szukamy liczby naturalnej takie przybliżenie nam wystarczy:

To oznacza, że wybudujemy studnię o najwyżej 16 metrach głębokości. Ponieważ wielokrotnie stosowaliśmy zaokrąglenia sprawdźmy, ile zapłacimy za wybudowanie 16 i 17 metrów studni.

Rzeczywiście, na wykopanie 17 m studni zabraknie nam pieniędzy.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-07, ZAD-492
Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

Pokaż rozwiązanie zadania

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy


Pokaż rozwiązanie zadania

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości x i y ciąg

Pokaż rozwiązanie zadania

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem

Pokaż rozwiązanie zadania

W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
A. q=1/3
B.
![q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}](matematyka/wzory/m2015/13_1.gif)
C.
![q=\sqrt[3]{3}](matematyka/wzory/m2015/13_2.gif)
D. q=3
Pokaż rozwiązanie zadania

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania