Nauka » Matematyka » Właściwości ciągu geometrycznego

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Rozwiązanie zadania uproszczone

Ceny za poszczególne metry głębokości studni tworzą ciąg geometryczny:
$(0.01, \ 0.02, \ 0.04, \ 0.08,...)\\ (0.01, \ 0.01\cdot 2, \ 0.01\cdot 2^2, \ 0.01\cdot 2^3, ...) \\ a_n=0.01\cdot 2^{n-1}$
$a_1=0.01\\ q=2$
$S_n\leq 1000 \\ 0.01\cdot \frac{1-2^n}{1-2}/\cdot 100 \\ \frac{1-2^n}{-1}\leq 10^3\cdot 10^2/\cdot(-1) \\ 1-2^n\geq -10^5 \\ -2^n\geq -10^5-1/\cdot (-1) \\ 2^n\leq 10^5+1$
$10^5+1 \approx 10^5 \\ 2^n\leq 10^5$
$2^n\leq 2^{\log_{2}{10^5}}$
$n\leq \log_{2}{10^5}$
$n\leq 5\log_{2}{10}$
W przybliżeniu:
$n\leq 5 \cdot 3.3 \\ n\leq 16.5$

Dysponując kwotą 1000 zł można wykopać studnię o głębokości 16 m.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Uszeregujmy ceny każdego metra wykopania studni w złotych i spróbujmy znaleźć zależność między nimi:

$(0.01, \ 0.02, \ 0.04, \ 0.08,...)\\ (0.01, \ 0.01\cdot 2, \ 0.01\cdot 2^2, \ 0.01\cdot 2^3, ...) \\ a_n=0.01\cdot 2^{n-1}$

Spójrzmy teraz na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Mamy więc w naszym przypadku do czynienia z ciągiem geometrycznym. Możemy zapisać, że

$a_1=0.01\\ q=2$

Możemy zapłacić co najwyżej 1000 zł, więc suma kosztów za kolejne metry studni może być mniejsza lub równa 1000. Suma ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:

$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

Otrzymujemy więc nierówność, w której niewiadomą jest numer wyrazu ciągu (tożsamy z numerem kolejnego metra):

$S_n\leq 1000 \\ a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\leq 10^3 \\ 0.01\cdot \frac{1-2^n}{1-2}/\cdot 100 \\ \frac{1-2^n}{-1}\leq 10^3\cdot 10^2/\cdot(-1) \\ 1-2^n\geq -10^5 \\ -2^n\geq -10^5-1/\cdot (-1) \\ 2^n\leq 10^5+1$

Otrzymaliśmy nierówność wykładniczą. Zauważmy, że n jest liczbą naturalną więc możemy tutaj stosować zaokrąglenia. Zauważmy że

$10^5+1 \approx 10^5 \\ 2^n\leq 10^5$

Musimy doprowadzić liczby po obu stronach nierówności do potęg o tych samych podstawach. Musimy skorzystać z własności logarytmów:

$a=b^{log_{b}{a}}, \ a,b>0, b\neq 1$

Możemy więc napisać:

$2^n\leq 2^{\log_{2}{10^5}}$

Podstawa potęgi jest większa od jedności, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji.

$n\leq \log_{2}{10^5}$

Skorzystajmy jeszcze z innej własności logarytmów:

$\log_{a}{b^c}=c\log_{a}{b}, \ a,b >0, a\neq 1$

Można więc napisać:

$n\leq 5\log_{2}{10}$

Musimy oszacować logarytm. Zauważamy, że 2³=8<10, natomiast 2⁴=16>10. Szukamy więc liczby między 3 i 4. Szacujemy dalej: 2^3.3≈9.85<10, natomiast 2^3.4≈10.56>10. Ponieważ szukamy liczby naturalnej takie przybliżenie nam wystarczy:

$n\leq 5 \cdot 3.3 \\ n\leq 16.5$

To oznacza, że wybudujemy studnię o najwyżej 16 metrach głębokości. Ponieważ wielokrotnie stosowaliśmy zaokrąglenia sprawdźmy, ile zapłacimy za wybudowanie 16 i 17 metrów studni.

$S_{16}=0.01\cdot \frac{1-2^{16}}{1-2}=0.01\cdot \frac{1-2^{16}}{-1}=\\ =-0.01(1-65536)=-0,01+655,36=655,35 \\ S_{17}=0.01\cdot \frac{1-2^{17}}{1-2}=0.01\cdot \frac{1-2^{17}}{-1}=\\ =-0.01(1-131072)=-0,01+1310,72=1310,71$