Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - ciąg geometryczny


Dla jakich wartości x i y ciąg (5,x,y,\frac{1}{25}) jest ciągiem geometrycznym?


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_4=a_1q^{4-1}=a_1q^3 \\ \frac{1}{25}=5q^3/:5 \\ \frac{1}{125}=q^3 \\ q=\sqrt[3]{\frac{1}{125}} \\ q=\frac{1}{5}
\frac{a_2}{a_1}=q \\ \frac{x}{5}=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ \underline{x=5}

\frac{a_4}{a_3}=q \\ \frac{\frac{1}{25}}{y}=\frac{1}{5}/\cdot 5y \\ \underline{y=\frac{1}{5}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby ciąg był ciągiem geometrycznym, musi być spełniony następujący warunek:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=const

Ponieważ jednak nie mamy jawnie zapisanych dwóch kolejnych wyrazów ciągu, nie znajdziemy w ten sposób ilorazu q ciągu. Wzór przyda się za chwilę. W celu wyznaczenia ilorazu q skorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciąg geometrycznego:

a_n=a_1q^{n-1}

Ponieważ znamy czwarty i pierwszy wyraz ciągu, możemy napisać:

a_4=a_1q^{4-1}=a_1q^3 \\ \frac{1}{25}=5q^3/:5 \\ \frac{1}{125}=q^3 \\ q=\sqrt[3]{\frac{1}{125}} \\ q=\frac{1}{5} tło tło tło tło

Teraz możemy skorzystać z pierwszego wzoru dla pierwszych dwóch wyrazów ciągu:

\frac{a_2}{a_1}=q \\ \frac{x}{5}=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ x=5

To samo możemy zrobić dla ostatnich dwóch wyrazów ciągu, wyznaczając tym samym wartość y

\frac{a_4}{a_3}=q \\ \frac{\frac{1}{25}}{y}=\frac{1}{5}/\cdot 5y \\ y=\frac{1}{5}

Sprawdźmy jeszcze, czy dla wyrazów środkowych spełniony jest nasz warunek:

\frac{a_3}{a_2}=q \\ \frac{\frac{1}{5}}{1}=q \\ \frac{1}{5}=q

Zatem iloraz wszystkich kolejnych wyrazów ciągu jest stały równy 1/5

ksiązki Odpowiedź

x=1, \ y=\frac{1}{5}

© medianauka.pl, 2010-01-05, ZAD-490





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.