Nauka » Matematyka » Ciąg geometryczny

Zadanie - ciąg geometryczny

Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_4=a_1q^{4-1}=a_1q^3 \\ \frac{1}{25}=5q^3/:5 \\ \frac{1}{125}=q^3 \\ q=\sqrt[3]{\frac{1}{125}} \\ q=\frac{1}{5}$
$\frac{a_2}{a_1}=q \\ \frac{x}{5}=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ \underline{x=5}$

$\frac{a_4}{a_3}=q \\ \frac{\frac{1}{25}}{y}=\frac{1}{5}/\cdot 5y \\ \underline{y=\frac{1}{5}}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby ciąg był ciągiem geometrycznym, musi być spełniony następujący warunek:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=const$

Ponieważ jednak nie mamy jawnie zapisanych dwóch kolejnych wyrazów ciągu, nie znajdziemy w ten sposób ilorazu q ciągu. Wzór przyda się za chwilę. W celu wyznaczenia ilorazu q skorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciąg geometrycznego:

$a_n=a_1q^{n-1}$

Ponieważ znamy czwarty i pierwszy wyraz ciągu, możemy napisać:

$a_4=a_1q^{4-1}=a_1q^3 \\ \frac{1}{25}=5q^3/:5 \\ \frac{1}{125}=q^3 \\ q=\sqrt[3]{\frac{1}{125}} \\ q=\frac{1}{5}$ tło

Teraz możemy skorzystać z pierwszego wzoru dla pierwszych dwóch wyrazów ciągu:

$\frac{a_2}{a_1}=q \\ \frac{x}{5}=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ x=5$

To samo możemy zrobić dla ostatnich dwóch wyrazów ciągu, wyznaczając tym samym wartość y

$\frac{a_4}{a_3}=q \\ \frac{\frac{1}{25}}{y}=\frac{1}{5}/\cdot 5y \\ y=\frac{1}{5}$

Sprawdźmy jeszcze, czy dla wyrazów środkowych spełniony jest nasz warunek:

$\frac{a_3}{a_2}=q \\ \frac{\frac{1}{5}}{1}=q \\ \frac{1}{5}=q$

Zatem iloraz wszystkich kolejnych wyrazów ciągu jest stały równy 1/5

Odpowiedź

$x=1, \ y=\frac{1}{5}$

Zadania podobne

Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy

. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania