Strona główna » Matematyka » Właściwości ciągu geometrycznego

zadanie

Zadanie - ciąg geometryczny

Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_4=a_1q^{4-1}=a_1q^3 \\ \frac{1}{25}=5q^3/:5 \\ \frac{1}{125}=q^3 \\ q=\sqrt[3]{\frac{1}{125}} \\ q=\frac{1}{5}$
$\frac{a_2}{a_1}=q \\ \frac{x}{5}=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ \underline{x=5}$

$\frac{a_4}{a_3}=q \\ \frac{\frac{1}{25}}{y}=\frac{1}{5}/\cdot 5y \\ \underline{y=\frac{1}{5}}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Aby ciąg był ciągiem geometrycznym, musi być spełniony następujący warunek:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=const$

Ponieważ jednak nie mamy jawnie zapisanych dwóch kolejnych wyrazów ciągu, nie znajdziemy w ten sposób ilorazu q ciągu. Wzór przyda się za chwilę. W celu wyznaczenia ilorazu q skorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciąg geometrycznego:

$a_n=a_1q^{n-1}$

Ponieważ znamy czwarty i pierwszy wyraz ciągu, możemy napisać:

$a_4=a_1q^{4-1}=a_1q^3 \\ \frac{1}{25}=5q^3/:5 \\ \frac{1}{125}=q^3 \\ q=\sqrt[3]{\frac{1}{125}} \\ q=\frac{1}{5}$ tło

Teraz możemy skorzystać z pierwszego wzoru dla pierwszych dwóch wyrazów ciągu:

$\frac{a_2}{a_1}=q \\ \frac{x}{5}=\frac{1}{5}/\cdot 5 \\ x=5$

To samo możemy zrobić dla ostatnich dwóch wyrazów ciągu, wyznaczając tym samym wartość y

$\frac{a_4}{a_3}=q \\ \frac{\frac{1}{25}}{y}=\frac{1}{5}/\cdot 5y \\ y=\frac{1}{5}$

Sprawdźmy jeszcze, czy dla wyrazów środkowych spełniony jest nasz warunek:

$\frac{a_3}{a_2}=q \\ \frac{\frac{1}{5}}{1}=q \\ \frac{1}{5}=q$

Zatem iloraz wszystkich kolejnych wyrazów ciągu jest stały równy 1/5

Odpowiedź

$x=1, \ y=\frac{1}{5}$

© medianauka.pl, 2010-01-05, ZAD-490

Zadania podobne

Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy

. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Poradnik leśnika. Atlas hub

Poradnik leśnika. Atlas hub
Hanna Kwaśna, Piotr Łakomy

Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych.

Kwanty. Przewodnik dla zdezorientowanych.
Jim Al-Khalili

Rośliny do każdego ogrodu

Rośliny do każdego ogrodu
Praca zbiorowa

Ptaki. Wróblowe Europy cz. I

Ptaki. Wróblowe Europy cz. I
Paweł Mielczarek

© Media Nauka 2008-2017 r.