logo

Zadanie - ciąg geometryczny


Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: (2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_1=2+\sqrt{2} \\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(2+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{4-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}
a_n=a_1q^{n-1}=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2})^{n-1}=(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}}{\sqrt{2}}=\\ =(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}(\sqrt{2})^n=\frac{\cancel{2}(\sqrt{2}+1)}{\cancel{2}}(\sqrt{2})^n=\\ =(sqrt{2}+1)(\sqrt{2})^n

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący:

a_n=a_1q^{n-1}

Zgodnie z definicją ciągu geometrycznego iloraz ciągu jest równy:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=q

Znamy pierwszy wyraz ciągu, iloraz q znajdziemy dzieląc na przykład drugi wyraz przez pierwszy (można też dzielić trzeci wyraz przez drugi, czwarty przez trzeci itp.):

a_1=2+\sqrt{2} \\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(2+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{4-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

Teraz możemy przystąpić do określenia wzoru na n-ty wyraz ciągu:

a_n=a_1q^{n-1}=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2})^{n-1}=(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}}{\sqrt{2}}=\\ =(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}(\sqrt{2})^n=\frac{\cancel{2}(\sqrt{2}+1)}{\cancel{2}}(\sqrt{2})^n=\\ =(sqrt{2}+1)(\sqrt{2})^n

ksiązki Odpowiedź

a_n=(sqrt{2}+1)(\sqrt{2})^n

© medianauka.pl, 2010-01-04, ZAD-486

Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{\sqrt{2}}, a siódmy wzór. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg (5,x,y,\frac{1}{25}) jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem a_n=(\frac{1}{2x-371})^n, dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+... jest zbieżny.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
C. q=\sqrt[3]{3}
D. q=3


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A. frac{5}{2}
B. frac{2}{5}
C. frac{3}{2}
D. frac{2}{3}


Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki - czarno-białe grochy
Rodzinna matematyka
Mapa świata Puzzle
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.