Nauka » Matematyka » Właściwości ciągu geometrycznego

Zadanie - ciąg geometryczny

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_1=2+\sqrt{2} \\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(2+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{4-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$a_n=a_1q^{n-1}=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2})^{n-1}=(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}}{\sqrt{2}}=\\ =(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}(\sqrt{2})^n=\frac{\cancel{2}(\sqrt{2}+1)}{\cancel{2}}(\sqrt{2})^n=\\ =(sqrt{2}+1)(\sqrt{2})^n$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący:

$a_n=a_1q^{n-1}$

Zgodnie z definicją ciągu geometrycznego iloraz ciągu jest równy:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Znamy pierwszy wyraz ciągu, iloraz q znajdziemy dzieląc na przykład drugi wyraz przez pierwszy (można też dzielić trzeci wyraz przez drugi, czwarty przez trzeci itp.):

$a_1=2+\sqrt{2} \\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(2+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{4-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Teraz możemy przystąpić do określenia wzoru na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_1q^{n-1}=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2})^{n-1}=(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}}{\sqrt{2}}=\\ =(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}(\sqrt{2})^n=\frac{\cancel{2}(\sqrt{2}+1)}{\cancel{2}}(\sqrt{2})^n=\\ =(sqrt{2}+1)(\sqrt{2})^n$