Nauka » Matematyka » Ciąg geometryczny

Zadanie - ciąg geometryczny

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a_1=2+\sqrt{2} \\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(2+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{4-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$a_n=a_1q^{n-1}=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2})^{n-1}=(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}}{\sqrt{2}}=\\ =(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}(\sqrt{2})^n=\frac{\cancel{2}(\sqrt{2}+1)}{\cancel{2}}(\sqrt{2})^n=\\ =(sqrt{2}+1)(\sqrt{2})^n$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego jest następujący:

$a_n=a_1q^{n-1}$

Zgodnie z definicją ciągu geometrycznego iloraz ciągu jest równy:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Znamy pierwszy wyraz ciągu, iloraz q znajdziemy dzieląc na przykład drugi wyraz przez pierwszy (można też dzielić trzeci wyraz przez drugi, czwarty przez trzeci itp.):

$a_1=2+\sqrt{2} \\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(2+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{4-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Teraz możemy przystąpić do określenia wzoru na n-ty wyraz ciągu:

$a_n=a_1q^{n-1}=(2+\sqrt{2})(\sqrt{2})^{n-1}=(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}}{\sqrt{2}}=\\ =(2+\sqrt{2})\frac{(\sqrt{2})^{n}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}(\sqrt{2})^n=\frac{\cancel{2}(\sqrt{2}+1)}{\cancel{2}}(\sqrt{2})^n=\\ =(sqrt{2}+1)(\sqrt{2})^n$

Odpowiedź

$a_n=(sqrt{2}+1)(\sqrt{2})^n$

Zadania podobne

Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy

. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania