Logo Media Nauka

Zadanie - ciąg geometryczny

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a_1=8 \\ q=\frac{1}{2}
S_{3}=8\cdot \frac{1-(\frac{1}{2})^3}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1-\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\cancel{8}\cdot \frac{7}{\cancel{8}}:\frac{1}{2}=14 \\ S_{10}=8\cdot \frac{1-(\frac{1}{2})^{10}}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1023}{1024}:\frac{1}{2}=16\cdot \frac{1023}{1024}=\frac{1023}{64}=15\frac{63}{64}
S=S_{1-}-S_{3}=14-15\frac{63}{64}=1\frac{63}{64}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzoru na sumę n-wyrazów ciągu geometrycznego:

S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Powyższy wzór dotyczy sumy wyrazów od pierwszego do n-tego. Mamy w naszym zadaniu obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu z pominięciem pierwszych trzech. Możemy to zapisać następująco:

S=S_{10}-S_3 \\ a_1=8 \\ q=\frac{1}{2}

Wystarczy więc obliczyć kolejne sumy i odjąć je od siebie:

S_{3}=8\cdot \frac{1-(\frac{1}{2})^3}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1-\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\cancel{8}\cdot \frac{7}{\cancel{8}}:\frac{1}{2}=14 \\ S_{10}=8\cdot \frac{1-(\frac{1}{2})^{10}}{1-\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}=8\cdot \frac{1023}{1024}:\frac{1}{2}=16\cdot \frac{1023}{1024}=\frac{1023}{64}=15\frac{63}{64}

Obliczamy różnicę:

S=S_{1-}-S_{3}=14-15\frac{63}{64}=1\frac{63}{64}

ksiązki Odpowiedź

S=1\frac{63}{64}

© medianauka.pl, 2010-01-05, ZAD-489



Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: (2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{\sqrt{2}}, a siódmy wzór. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg (5,x,y,\frac{1}{25}) jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem a_n=(\frac{1}{2x-371})^n, dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+... jest zbieżny.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
C. q=\sqrt[3]{3}
D. q=3


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.