Zadanie maturalne nr 4, matura 2017 (poziom rozszerzony)


Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy dwa ciągi:

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:

\( a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \)

Mamy więc:

\( b=\frac{a+c}{2} \)

\( a+c=2b \)

Ponieważ z warunków zadania wiemy, że suma wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 27, więc:

\( a+b+c=27 \)

\( 3b=27 \)

\( b=9 \)

Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

\( a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}} \)

Zatem:

\( b=\sqrt{(a-2)(2c+1)} \)

\( b^2=(a-2)(2c+1) \)

Ponieważ:

\( a+b+c=27 \)

\( a+9+c=27 \)

\( a=18-c \),

to:

\( 9^2=(18-c-2)(2c+1) \)

\( 81=(16-c)(2c+1) \)

\( 32c-2c^2+16-c=81 \)

\( 2c^2-31c+65=0 \)

\( \Delta_c=961-8\cdot 65=441=21^2 \)

\( c_1=\frac{31-21}{4}=\frac{5}{2} \)

\( c_1=\frac{31+21}{4}=13 \)

Mamy więc dwa rozwiązania. Ponieważ wiemy, że a=18-c, to:

ksiązki Odpowiedź

\( a=\frac{31}{2}, b=9, c=\frac{5}{2} \)

lub

\( a=5, b=9, c=13 \)


© medianauka.pl, 2022-12-29, ZAD-4570

Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg geometryczny

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \((2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny

Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5,x,y,\frac{1}{25})\) jest ciągiem geometrycznym?



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody, wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie z treścią - ciąg geometryczny

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4

B. 1

C. 0

D. -1



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(\frac{1}{2x-371})^n\), dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg \(a_1+a_2+a_3+...\) jest zbieżny.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) , określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:

A. \(q=\frac{1}{3}\)

B. \(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

C. \(q=\sqrt[3]{3}\)

D. \(q=3\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2014

Liczby: \(x-2, 6, 12\), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \(x\) jest równa:

A. 0

B. 2

C. 3

D. 5



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2017 (poziom podstawowy)

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((24, 6, a − 1)\). Stąd wynika, że:

A. \(\frac{5}{2}\)

B. \(\frac{2}{5}\)

C. \(\frac{3}{2}\)

D. \(\frac{2}{3}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2021

Trzywyrazowy ciąg \((15, 3x, \frac{5}{3})\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że:

A. \(x=\frac{3}{5}\)

B. \(x=\frac{4}{5}\)

C. \(x=1\)

D. \(x=\frac{5}{3}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2018

Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2018

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}, a_2=2\sqrt{2}, a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)

B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)

D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 2, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2019

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

C. \(3\)

D. \(\sqrt{3}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2019 - poziom rozszerzony

Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 33, matura 2020

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3= 0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\rangle\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 10, matura 2020 - poziom rozszerzony

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\) spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są — odpowiednio — czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2022

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\frac{2}{9}\)

D. \(\frac{9}{2}\)



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2023

Trzywyrazowy ciąg \((27,9,a-1)\) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) jest równa

A. 3

B. 0

C. 4

D. 2



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 1, matura 2023 - poziom rozszerzony

W chwili początkowej (\(t=0\)) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t\geq 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1,5\) grama. Zapisz obliczenia.



Pokaż rozwiązanie zadania




©® Media Nauka 2008-2023 r.