Zadanie maturalne nr 4, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Rozwiązanie zadania
Mamy dwa ciągi:
- arytmetyczny: (a,b,c)
- geometryczny: (a-2,b,2c+1)
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:
Mamy więc:
\( b=\frac{a+c}{2} \)
\( a+c=2b \)
Ponieważ z warunków zadania wiemy, że suma wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 27, więc:
\( a+b+c=27 \)
\( 3b=27 \)
\( b=9 \)
Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:
Zatem:
\( b=\sqrt{(a-2)(2c+1)} \)
\( b^2=(a-2)(2c+1) \)
Ponieważ:
\( a+b+c=27 \)
\( a+9+c=27 \)
\( a=18-c \),
to:
\( 9^2=(18-c-2)(2c+1) \)
\( 81=(16-c)(2c+1) \)
\( 32c-2c^2+16-c=81 \)
\( 2c^2-31c+65=0 \)
\( \Delta_c=961-8\cdot 65=441=21^2 \)
\( c_1=\frac{31-21}{4}=\frac{5}{2} \)
\( c_1=\frac{31+21}{4}=13 \)
Mamy więc dwa rozwiązania. Ponieważ wiemy, że a=18-c, to:
Odpowiedź
\( a=\frac{31}{2}, b=9, c=\frac{5}{2} \)
lub
\( a=5, b=9, c=13 \)
© medianauka.pl, 2022-12-29, ZAD-4570
Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

Pokaż rozwiązanie zadania

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy


Pokaż rozwiązanie zadania

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości x i y ciąg

Pokaż rozwiązanie zadania

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem

Pokaż rozwiązanie zadania

W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
A. q=1/3
B.
![q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}](matematyka/wzory/m2015/13_1.gif)
C.
![q=\sqrt[3]{3}](matematyka/wzory/m2015/13_2.gif)
D. q=3
Pokaż rozwiązanie zadania

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1, w którym a1=√2, a2=2√2, a3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
- an=(√2)n
- an=2n/√2
- an=(√2/2)n
- an=(√2)n/2
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy
A. 1/3
B. 1/√3
C. 3
D. √3
Pokaż rozwiązanie zadania