Zadanie maturalne nr 10, matura 2020 - poziom rozszerzony


W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1, a2 , a3) spełniona jest równość a1 + a2 + a3 = 21/4. Wyrazy a1, a2 , a3 są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a1.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Z warunków zadania wynika, że:

\(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\).

Ciąg ten jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q\). Zatem kolejne wyrazy ciągu można wyrazić przez \(a_1\) i \(q\).

\(a_1\)

\(a_2=a_1q\)

\(a_3=a_1q^2\)

Zatem

\(a_1+a_1 q+a_1q^2=\frac{21}{4}\) (wzór 1).

Mamy też ciąg arytmetyczny o wyrazach \((b_1,b_2,b_3,b_4)\). Między wyrazami ciągu arytmetycznego i geometrycznego zgodnie z treścią zadania zachodzą związki:

\(b_1=a_3=a_1q^2\)

\(b_2=a_2=a_1q\)

\(b_4=a_1\)

Czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć ze wzoru:

\(b_4=b_1+3r\),

Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:

\(r=b_2-b_1=a_1q-a_1q^2\).

Zatem:

\(b_4=a_1=b_1+3r=a_1q^2+3(a_1q-a_1q^2)\)

\(a_1=a_1q^2+3a_1q-3a_1q^2\)

\(a_1-3a_1q+2a_1q^2=0\)

\(a_1(1-3q+2q^2)=0\)

Ponieważ \(a_1\neq 0 \) (wyrazy ciągu geometrycznego nie mogą być równe zeru), to:

\(1-3q+2q^2=0\)

\(\Delta=9-8=1\)

\(q_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\)

\(q_2=\frac{3+1}{4}=1\)

Dla q=1 mamy ciąg geometryczny stały, a więc nie spełnia warunków zadania. Bierzemy pod uwagę \(q=\frac{1}{2}\):

\(r=a_1q-a_1q^2=\frac{2a_1}{4}+\frac{a_1}{4}=\frac{1}{4}a_1\).

Ze wzoru 1 wynika:

\(a_1+a_1 q+a_1q^2=\frac{21}{4}\)

\(a_1+a_1\cdot \frac{1}{2}+a_1\cdot \frac{1}{4}=\frac{21}{4}\)

\(a_1\cdot \frac{7}{4}=\frac{21}{4}/cdot \frac{4}{7}\)

\(a_1=3\)

ksiązki Odpowiedź

\(a_1=3\)

© medianauka.pl, 2023-03-11, ZAD-4780

Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: (2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \frac{1}{\sqrt{2}}, a siódmy wzór. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg (5,x,y,\frac{1}{25}) jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem a_n=(\frac{1}{2x-371})^n, dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+... jest zbieżny.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
C. q=\sqrt[3]{3}
D. q=3


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a − 1). Stąd wynika, że
A. frac{5}{2}
B. frac{2}{5}
C. frac{3}{2}
D. frac{2}{3}


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2018

Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest

  1. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
  2. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
  3. geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
  4. geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2018

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1, w którym a1=√2, a2=2√2, a3=4√2. Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

  1. an=(√2)n
  2. an=2n/√2
  3. an=(√2/2)n
  4. an=(√2)n/2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 2, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2019

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek a5/a3=1/9. Iloraz tego ciągu jest równy

A. 1/3

B. 1/√3

C. 3

D. √3



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2019 - poziom rozszerzony

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny, ciąg (a +1, b + 5, c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a +b + c = 39. Oblicz a, b, c.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 33, matura 2020

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an), określonego dla n ≥ 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a1 - 5a2 + a3= 0. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału ⟨2√2, 3√2⟩.



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.