Nauka » Matematyka » Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}$

Mamy więc z warunków zadania:

$S_11=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=187/\cdot \frac{2}{11}\\ a_1+a_{11}=34$

Jedenasty wyraz ciągu możemy wyrazić, korzystając z podstawowego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Obliczamy więc 11-sty wyraz ciągu i podstawiamy do wyżej wyliczonej zależności:

$a_{11}=a_1+(11-1)r=a_1+10r\\a_1+a_{11}=34\\ a_1+a_1+10r=34\\ 2a_1=34-10r/:2\\a_1=17-5r$

Z warunków zadania wynika, ze średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Zapisujemy ten warunek, wyrażając trzeci i 9-ty wyraz ciągu za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$\frac{a_1+a_3+a_9}{3}=12\\a_3=a_1+2r\\a_9=a_1+8r\\\frac{a_1+a_1+2r+a_1+8r}{3}=12/\cdot 3\\3a_1+10r=36$

Otrzymujemy układ równań:

$\begin{cases}a_1=17-5r\\3a_1=36-10r\end{cases}\\3(17-5r)=36-10r\\51-15r=36-10r\\5r=15/:3\\r=3\\a_1=17-5\cdot 3=2$

Zbudujmy teraz ciąg geometryczny. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego, które tworzą pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego. Na podstawie tych dwóch wyrazów obliczamy iloraz q i trzeci element ciągu geometrycznego a_k, z którego wyznaczymy szukane k.

$a_1=2\\a_3=a_1+2r=2+2\cdot 3=8\\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{8}{2}=4\\q=\frac{a_k}{a_3}\\4=\frac{a_k}{8}\\a_k=32\\a_k=a_1+(k-1)r\\32=2+(k-1)\cdot 3\\3(k-1)=30\\k-1=10\\k=11$

Odpowiedź

k=11

Zadania podobne

Zadanie - ciąg geometryczny
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy

. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny
Dla jakich wartości x i y ciąg $(5,x,y,\frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ciąg geometryczny - zadanie z treścią
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie z treścią - ciąg geometryczny
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom podstawowy)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony wzorem $a_n=(\frac{1}{2x-371})^n$ , dla n ≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a₁+a₂+a₃+... jest zbieżny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom podstawowy)
W rosnącym ciągu geometrycznym (a_n) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a₄=3a₁. Iloraz q tego ciągu jest równy

A. q=1/3
B. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
C. $q=\sqrt[3]{3}$
D. q=3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2014
Liczby: x-2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania