Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)


W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:

S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}

Mamy więc z warunków zadania:

S_11=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=187/\cdot \frac{2}{11}\\ a_1+a_{11}=34

Jedenasty wyraz ciągu możemy wyrazić, korzystając z podstawowego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

a_n=a_1+(n-1)r

Obliczamy więc 11-sty wyraz ciągu i podstawiamy do wyżej wyliczonej zależności:

a_{11}=a_1+(11-1)r=a_1+10r\\a_1+a_{11}=34\\ a_1+a_1+10r=34\\ 2a_1=34-10r/:2\\a_1=17-5r

Z warunków zadania wynika, ze średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Zapisujemy ten warunek, wyrażając trzeci i 9-ty wyraz ciągu za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

\frac{a_1+a_3+a_9}{3}=12\\a_3=a_1+2r\\a_9=a_1+8r\\\frac{a_1+a_1+2r+a_1+8r}{3}=12/\cdot 3\\3a_1+10r=36

Otrzymujemy układ równań:

\begin{cases}a_1=17-5r\\3a_1=36-10r\end{cases}\\3(17-5r)=36-10r\\51-15r=36-10r\\5r=15/:3\\r=3\\a_1=17-5\cdot 3=2

Zbudujmy teraz ciąg geometryczny. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego, które tworzą pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego. Na podstawie tych dwóch wyrazów obliczamy iloraz q i trzeci element ciągu geometrycznego ak, z którego wyznaczymy szukane k.

a_1=2\\a_3=a_1+2r=2+2\cdot 3=8\\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{8}{2}=4\\q=\frac{a_k}{a_3}\\4=\frac{a_k}{8}\\a_k=32\\a_k=a_1+(k-1)r\\32=2+(k-1)\cdot 3\\3(k-1)=30\\k-1=10\\k=11

ksiązki Odpowiedź

k=11

© medianauka.pl, 2016-12-15, ZAD-3332





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.