Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:

Mamy więc z warunków zadania:

\(S_11=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=187/\cdot \frac{2}{11}\)

\(a_1+a_{11}=34\)

Jedenasty wyraz ciągu możemy wyrazić, korzystając z podstawowego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Obliczamy więc 11-sty wyraz ciągu i podstawiamy do wyżej wyliczonej zależności:

\(a_{11}=a_1+(11-1)r=a_1+10r\)

\(a_1+a_{11}=34\)

\(a_1+a_1+10r=34\)

\(2a_1=34-10r/:2\)

\(a_1=17-5r\)

Z warunków zadania wynika, ze średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Zapisujemy ten warunek, wyrażając trzeci i 9-ty wyraz ciągu za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

\(\frac{a_1+a_3+a_9}{3}=12\)

\(a_3=a_1+2r\)

\(a_9=a_1+8r\)

\(\frac{a_1+a_1+2r+a_1+8r}{3}=12/\cdot 3\)

\(3a_1+10r=36\)

Otrzymujemy układ równań:

\(\begin{cases}a_1=17-5r\\3a_1=36-10r\end{cases}\)

\(3(17-5r)=36-10r\)

\(51-15r=36-10r\)

\(5r=15/:3\)

\(r=3\)

\(a_1=17-5\cdot 3=2\)

Zbudujmy teraz ciąg geometryczny. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego, które tworzą pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego. Na podstawie tych dwóch wyrazów obliczamy iloraz \(q\) i trzeci element ciągu geometrycznego \(a_k\), z którego wyznaczymy szukane \(k\).

\(a_1=2\)

\(a_3=a_1+2r=2+2\cdot 3=8\)

\( q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{8}{2}=4\)

\(q=\frac{a_k}{a_3}\)

\(4=\frac{a_k}{8}\)

\(a_k=32\)

\(a_k=a_1+(k-1)r\)

\(32=2+(k-1)\cdot 3\)

\(3(k-1)=30\)

\(k-1=10\)

\(k=11\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2016-12-15, ZAD-3332

Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \((2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)\).

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5,x,y,\frac{1}{25})\) jest ciągiem geometrycznym?

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody, wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4

B. 1

C. 0

D. -1

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(\frac{1}{2x-371})^n\), dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg \(a_1+a_2+a_3+...\) jest zbieżny.

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) , określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:

A. \(q=\frac{1}{3}\)

B. \(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

C. \(q=\sqrt[3]{3}\)

D. \(q=3\)

Liczby: \(x-2, 6, 12\), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \(x\) jest równa:

A. 0

B. 2

C. 3

D. 5

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((24, 6, a − 1)\). Stąd wynika, że:

A. \(\frac{5}{2}\)

B. \(\frac{2}{5}\)

C. \(\frac{3}{2}\)

D. \(\frac{2}{3}\)

Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).

Trzywyrazowy ciąg \((15, 3x, \frac{5}{3})\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że:

A. \(x=\frac{3}{5}\)

B. \(x=\frac{4}{5}\)

C. \(x=1\)

D. \(x=\frac{5}{3}\)

Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}, a_2=2\sqrt{2}, a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)

B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)

D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

C. \(3\)

D. \(\sqrt{3}\)

Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3= 0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\rangle\).

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\) spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są — odpowiednio — czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\frac{2}{9}\)

D. \(\frac{9}{2}\)

Trzywyrazowy ciąg \((27,9,a-1)\) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) jest równa

A. 3

B. 0

C. 4

D. 2

W chwili początkowej (\(t=0\)) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t\geq 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1,5\) grama. Zapisz obliczenia.