Strona główna » Matematyka » Właściwości ciągu arytmetycznego • Ciąg geometryczny

Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot{n}$

Mamy więc z warunków zadania:

$S_11=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=187/\cdot \frac{2}{11}\\ a_1+a_{11}=34$

Jedenasty wyraz ciągu możemy wyrazić, korzystając z podstawowego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Obliczamy więc 11-sty wyraz ciągu i podstawiamy do wyżej wyliczonej zależności:

$a_{11}=a_1+(11-1)r=a_1+10r\\a_1+a_{11}=34\\ a_1+a_1+10r=34\\ 2a_1=34-10r/:2\\a_1=17-5r$

Z warunków zadania wynika, ze średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Zapisujemy ten warunek, wyrażając trzeci i 9-ty wyraz ciągu za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$\frac{a_1+a_3+a_9}{3}=12\\a_3=a_1+2r\\a_9=a_1+8r\\\frac{a_1+a_1+2r+a_1+8r}{3}=12/\cdot 3\\3a_1+10r=36$

Otrzymujemy układ równań:

$\begin{cases}a_1=17-5r\\3a_1=36-10r\end{cases}\\3(17-5r)=36-10r\\51-15r=36-10r\\5r=15/:3\\r=3\\a_1=17-5\cdot 3=2$

Zbudujmy teraz ciąg geometryczny. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego, które tworzą pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego. Na podstawie tych dwóch wyrazów obliczamy iloraz q i trzeci element ciągu geometrycznego a_k, z którego wyznaczymy szukane k.

$a_1=2\\a_3=a_1+2r=2+2\cdot 3=8\\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{8}{2}=4\\q=\frac{a_k}{a_3}\\4=\frac{a_k}{8}\\a_k=32\\a_k=a_1+(k-1)r\\32=2+(k-1)\cdot 3\\3(k-1)=30\\k-1=10\\k=11$