Zadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:
Mamy więc z warunków zadania:
\(S_11=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=187/\cdot \frac{2}{11}\)
\(a_1+a_{11}=34\)
Jedenasty wyraz ciągu możemy wyrazić, korzystając z podstawowego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
Obliczamy więc 11-sty wyraz ciągu i podstawiamy do wyżej wyliczonej zależności:
\(a_{11}=a_1+(11-1)r=a_1+10r\)
\(a_1+a_{11}=34\)
\(a_1+a_1+10r=34\)
\(2a_1=34-10r/:2\)
\(a_1=17-5r\)
Z warunków zadania wynika, ze średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Zapisujemy ten warunek, wyrażając trzeci i 9-ty wyraz ciągu za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\(\frac{a_1+a_3+a_9}{3}=12\)
\(a_3=a_1+2r\)
\(a_9=a_1+8r\)
\(\frac{a_1+a_1+2r+a_1+8r}{3}=12/\cdot 3\)
\(3a_1+10r=36\)
Otrzymujemy układ równań:
\(\begin{cases}a_1=17-5r\\3a_1=36-10r\end{cases}\)
\(3(17-5r)=36-10r\)
\(51-15r=36-10r\)
\(5r=15/:3\)
\(r=3\)
\(a_1=17-5\cdot 3=2\)
Zbudujmy teraz ciąg geometryczny. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego, które tworzą pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego. Na podstawie tych dwóch wyrazów obliczamy iloraz \(q\) i trzeci element ciągu geometrycznego \(a_k\), z którego wyznaczymy szukane \(k\).
\(a_1=2\)
\(a_3=a_1+2r=2+2\cdot 3=8\)
\( q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{8}{2}=4\)
\(q=\frac{a_k}{a_3}\)
\(4=\frac{a_k}{8}\)
\(a_k=32\)
\(a_k=a_1+(k-1)r\)
\(32=2+(k-1)\cdot 3\)
\(3(k-1)=30\)
\(k-1=10\)
\(k=11\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-12-15, ZAD-3332
Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \((2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5,x,y,\frac{1}{25})\) jest ciągiem geometrycznym?
Pokaż rozwiązanie zadania

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody, wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(\frac{1}{2x-371})^n\), dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg \(a_1+a_2+a_3+...\) jest zbieżny.
Pokaż rozwiązanie zadania

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) , określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
A. \(q=\frac{1}{3}\)
B. \(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
C. \(q=\sqrt[3]{3}\)
D. \(q=3\)
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby: \(x-2, 6, 12\), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \(x\) jest równa:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((24, 6, a − 1)\). Stąd wynika, że:
A. \(\frac{5}{2}\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Trzywyrazowy ciąg \((15, 3x, \frac{5}{3})\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że:
A. \(x=\frac{3}{5}\)
B. \(x=\frac{4}{5}\)
C. \(x=1\)
D. \(x=\frac{5}{3}\)
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).
C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).
D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}, a_2=2\sqrt{2}, a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)
B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)
C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)
D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C. \(3\)
D. \(\sqrt{3}\)
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3= 0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\rangle\).
Pokaż rozwiązanie zadania

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\) spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są — odpowiednio — czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).
Pokaż rozwiązanie zadania

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\frac{2}{9}\)
D. \(\frac{9}{2}\)
Pokaż rozwiązanie zadania

Trzywyrazowy ciąg \((27,9,a-1)\) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) jest równa
A. 3
B. 0
C. 4
D. 2
Pokaż rozwiązanie zadania

W chwili początkowej (\(t=0\)) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t\geq 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1,5\) grama. Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie zadania