Zadanie maturalne nr 4, matura 2019 - poziom rozszerzony
Ciąg (a, b, c) jest geometryczny, ciąg (a +1, b + 5, c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a +b + c = 39. Oblicz a, b, c.
Rozwiązanie zadania
Każde kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego różnią się o tę samą wartość r. Zatem:
\(b+5-(a+1)=r\)
\(c-(b+5)=r\)
Zatem:
\(b+5-(a+1)=c-(b+5)\)
\(b+5-a-1=c-b-5\)
\(a=2b-c+9\)
Z warunków zadania wiemy, że:
\(a+b+c=39\)
Mamy zatem:
\(2b-c+9+b+c=39\)
\(3b=30/:3\)
\(b=10\)
Iloraz kolejnych dwóch wyrazów ciągu geometrycznego i jest stały. Możemy więc zapisać, że:
\(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\)
Ponieważ w ciągu geometrycznym wyrazy tego ciągu nie mogą być zerem, możemy pomnożyć obie strony równania przez \(ab\).
\(b^2=ac\)
\(10^2=ac\)
\(ac=100\)
\(a=\frac{100}{c}\)
Znów skorzystamy z warunków zadania:
\(a+b+c=39\)
\(a+10+c=39\)
\(a+c=29\)
\(\frac{100}{c}+c=29\)
\(100+c^2-29c=0\)
\(\Delta=29^2-4\cdot 100=841-400=441\)
\(\sqrt{\Delta}=21\)
\(c_1=\frac{29-21}{2}=4\)
\(c_2=\frac{29+21}{2}=25\)
W drugim przypadku mielibyśmy do czynienia z ciągiem arytmetycznym (a+1, 4+5, 24 ). Ten ciąg jest rosnący, zatem nie spełnia warunków zadania. Bierzemy pod uwagę tylko pierwszy wynik.
Skorzystamy z wyznaczonej wartości:
\(a=2b-c+9\)
Podstawiamy wartość b i c:
\(a=20-4+9=25\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4705
Zadania podobne

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że ciąg

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości x i y ciąg

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209
Pokaż rozwiązanie zadania

Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :
A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Pokaż rozwiązanie zadania

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:
A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5
Pokaż rozwiązanie zadania

W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n ≥1, dane są: a1 = 5 , a2 = 11. Wtedy A. a14 = 71
B. a12 = 71
C. a11 = 71
D. a10 = 71
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby a, b, c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2, b, 2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ciąg (an) jest określony wzorem an=(5-2n)/6 dla n≥1. Ciąg ten jest
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-1/3.
- arytmetyczny i jego różnica jest równa r=-2.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=-1/3.
- geometryczny i jego iloraz jest równy q=5/6.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dla ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n ≥1, jest spełniony warunek a4+a5+a6=12 . Wtedy
- a5=4
- a5=3
- a5=6
- a5=5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a, b+1, 2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Pokaż rozwiązanie zadania

W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = −49.
Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. -168
B. -189
C. -21
D. -42
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = −4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1, a2 ,a3, a4, a5, a6, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę k, dla której ak = −78.
Pokaż rozwiązanie zadania

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma a1 + a2 + a3 + a4 jest równa
A. -42
B. -36
C. -18
D. 6
Pokaż rozwiązanie zadania