Logo Media Nauka

Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)

Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dany jest n-ty wyraz ciągu. Aby policzyć sumę każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu musimy znać wyraz n+1 ciągu. Obliczmy go więc, wstawiając za n do wyrażenia ogólnego ciągu wyrażenie n+1. Następnie dodajemy do siebie te wyrazy ciągu (jest to suma każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu) i badamy to wyrażenie.

a_n=2n^2+2n \\ a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2(n^2+2n+1)+2n+2= \\ =2n^2+4n+2+2n+2=2n^2+6n+4\\
a_n+a_{n+1}=2n^2+2n+2n^2+6n+4=4n^2+8n+4= \\ =4(n^2+2n+1)=4(n+1)^2=[2(n+1)]^2

Ponieważ liczba 2(n+1) jest liczbą naturalną, to dowiedliśmy, że suma każdych dwóch wyrazów ciągu (an) jest kwadratem liczby naturalnej.


© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3256

Zadania podobne

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:
(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Wykazać, że ciąg a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3} jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio 7 i \sqrt{7}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny, wyrazy ciągu
Dla jakich wartości x i y ciąg (5, \ x, \ y, \ \frac{1}{5}) jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Rozwiązać równanie 2+3+4+...+x=209

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - ciąg arytmetyczny
Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom podstawowy)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy :

A. 37/2
B. -37/2
C. -5/2
D. 5/2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 34, matura 2015 (poziom podstawowy)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2014
Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. an=-3n+5
B. an=n-3
C. an=-n+3
D. an=3n-5

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.