Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 30, matura 2016 (poziom podstawowy)


Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2 + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dany jest n-ty wyraz ciągu. Aby policzyć sumę każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu musimy znać wyraz n+1 ciągu. Obliczmy go więc, wstawiając za n do wyrażenia ogólnego ciągu wyrażenie n+1. Następnie dodajemy do siebie te wyrazy ciągu (jest to suma każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu) i badamy to wyrażenie.

a_n=2n^2+2n \\ a_{n+1}=2(n+1)^2+2(n+1)=2(n^2+2n+1)+2n+2= \\ =2n^2+4n+2+2n+2=2n^2+6n+4\\
a_n+a_{n+1}=2n^2+2n+2n^2+6n+4=4n^2+8n+4= \\ =4(n^2+2n+1)=4(n+1)^2=[2(n+1)]^2

Ponieważ liczba 2(n+1) jest liczbą naturalną, to dowiedliśmy, że suma każdych dwóch wyrazów ciągu (an) jest kwadratem liczby naturalnej.


© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3256





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.