Funkcja kwadratowa

Definicja

gdzie $x\in{R},\quad{a}\neq{0},\quad{b},\quad{c}$ - liczby dane (rzeczywiste), nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym lub funkcją drugiego stopnia.

Przykład

Przykłady funkcji kwadratowych:

$y=5x^2+9x-4\\{y=-x^2-x}\\{y=2x^2-7}\\{y=x^2}$

Szczególnym przypadkiem trójmianu kwadratowego jest jednomian drugiego stopnia (kwadratowy).
Jest to funkcja w postaci . Jest to więc przypadek, w którym .

Wykres i własności jednomianu kwadratowego

Podstawowe własności funkcji kwadratowej można określić na podstawie przykładu jednomianu kwadratowego.

Wykres trójmianu kwadratowego będziemy sporządzać korzystając z możliwości przesuwania wykresu jednomianu kwadratowego o określony wektor w układzie współrzędnych. Będziemy to omawiać przy okazji postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego.

Przykład

Sporządźmy więc wykres kilku funkcji:

$y=x^2\\{y=-x^2}\\{y=2x^2}\\{y=\frac{1}{2}x^2}$ ,

gdzie a jest dowolną liczbą.

Sporządźmy tabelkę zmienności funkcji.

x	-2	-1	1/2	1	2
y=x²	4	1	1/4	1	4
y=-x²	-4	-1	-1/4	-1	-4
y=2x²	8	2	1/2	2	8
y=1/2x²	2	1/2	1/8	1/2	2

Na jednym układzie współrzędnych wykreślamy wykresy wszystkich funkcji.

Możemy teraz określić podstawowe własności wykresu oraz samej funkcji (jednomianu kwadratowego).

Wykresem jednomianu kwadratowego jest krzywa, którą nazywamy parabolą.
Parabola ma dwa ramiona, które mogą być skierowane w górę, gdy współczynnik a>0 oraz skierowane w dół, kiedy współczynnik a<0.
Im większy jest współczynnik a, tym parabola jest "węższa".
Parabola posiada jeden wierzchołek w punkcie (0,0).
Dziedziną jednomianu kwadratowego jest zbiór liczb rzeczywistych.
Zbiorem wartości jednomianu kwadratowego jest zbiór $<0;+\infty)$ , gdy a>0 oraz $(-\infty;0>$ , gdy a<0.
Jednomian kwadratowy jest funkcją parzystą. Oś OY jest osią symetrii paraboli, a punkt przecięcia się tej osi z parabolą jest wierzchołkiem paraboli.
Monotoniczność jednomianu kwadratowego: funkcja maleje w przedziale $(-\infty;0)$ i rośnie w przedziale $(0;+\infty)$ , gdy a>0 oraz rośnie w przedziale $(-\infty;0)$ i maleje w przedziale $(0;+\infty)$ , gdy a<0.
Gdy a<0 funkcja osiąga wartość największą (maksimum) w punkcie x=0 równe 0, natomiast dla a>0 funkcja osiąga wartość najmniejszą (minimum) w punkcie x=0 równe 0.
Jednomian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe x₀=0.

Zmienność wykresu funkcji kwadratowej w zależności od współczynników a, b, c można prześledzić za pomocą aplikacji udostępnionej na stronie http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Equation_Grapher. Można tutaj za pomocą suwaków zmieniać wartości odpowiednich współczynników i obserwować zachowanie wykresu funkcji kwadratowej.