Funkcja kwadratowa

Funkcję w postaci

\(y=ax^2+bx+c\)

gdzie \(x\in{R},\quad{a}\in \mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace, b, c\in \mathbb{R}\), nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym (gdy \(b\neq 0, c\neq 0\)) lub funkcją drugiego stopnia.

Przedstawiony wyżej wzór funkcji kwadratowej jest to tak zwana postać ogólna funkcji kwadratowej.

W dalszej części kursu poznamy:

  • postać iloczynową funkcji kwadratowej,
  • postać kanoniczną funkcji kwadratowej.

Przykłady

Przykłady funkcji kwadratowych w postaci ogólnej:

  • \(y=5x^2+9x-4\)
  • \({y=-x^2-x}\)
  • \({y=2x^2-7}\)
  • \({y=x^2}\)

A oto inne przykłady funkcji kwadratowej w innej postaci:

  • \(y=(x-1)(x+1)\)
  • \(y=x(x+4)\)
  • \(y=3(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})\)
  • \(y=5(x-1)^2+6\)

Jednomian kwadratowy

Szczególnym przypadkiem trójmianu kwadratowego jest jednomian drugiego stopnia (kwadratowy).
Jest to funkcja w postaci \(y=ax^2\). Jest to więc przypadek, w którym \(b=c=0\).

Funkcja kwadratowa — wzory

Oto przydatne wzory i zagadnienia związane z funkcją kwadratową oraz linki do artykułów, w których wzory te zostały omówione. Jednocześnie prezentujemy różne postacie funkcji kwadratowej.

ZagadnienieWzór
Postać ogólna funkcji kwadratowej

\(y=ax^2+bx+c\)

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Postać iloczynowa:
\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Pierwiastki funkcji kwadratowej
(miejsca zerowe funkcji kwadratowej):

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

\(\Delta=b^2-4ac\)

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej, gdy \(\Delta=0\):

\(x_0=-\frac{b}{2a}\)

 

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Postać kanoniczna:

\(y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}\)

Wektor przesunięcia:

\(\vec{u}=[-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}]\)

Współrzędne wierzchołka paraboli:

\(W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\)

 

Wzory Viete'a

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}\)

Wykresfunkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Wykres trójmianu kwadratowego będziemy sporządzać korzystając z możliwości przesuwania wykresu jednomianu kwadratowego o określony wektor w układzie współrzędnych. Będziemy to omawiać przy okazji postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego. Poznajmy cechy paraboli w oparciu o jednomian kwadratowy.

Przykłady

Sporządźmy wykresy kilku funkcji:

\(y=x^2\),

\(y=-x^2\),

\(y=2x^2\) ,

\(y=\frac{1}{2}x^2\),

gdzie \(a\) jest dowolną liczbą.

Sporządźmy tabelkę zmienności funkcji.

\(x\)-2-10 \(\frac{1}{2}\)12
\(y=x^2\)410 \(\frac{1}{4}\)14
\(y=-x^2\)-4-10 \(-\frac{1}{4}\)-1-4
\(y=2x^2\)820 \(\frac{1}{2}\)28
\(y=\frac{1}{2}x^2\)2 \(\frac{1}{2}\)0 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{2}\)2

Na jednym układzie współrzędnych wykreślamy wykresy wszystkich funkcji.

Wykres jednomianu kwadratowego

Własności funkcji kwadratowej na przykładzie jednomianu kwadratowego

Podstawowe własności funkcji kwadratowej można określić na podstawie przykładu jednomianu kwadratowego.

  • Wykresem jednomianu kwadratowego jest krzywa, którą nazywamy parabolą.
    Parabola ma dwa ramiona, które mogą być skierowane w górę, gdy współczynnik \(a>0\) oraz skierowane w dół, kiedy współczynnik \(a<0\).
  • Im większy jest współczynnik \(a\), tym parabola jest „węższa”.
  • Parabola (o równaniu \(y=ax^2\)) posiada jeden wierzchołek w punkcie \(W=(0,0)\).
  • Parabola jednomianu kwadratowego ma oś symetrii. Jest to prosta o równaniu \(x=0\).
  • Dziedzina funkcji kwadratowej: dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
  • Zbiór wartości funkcji kwadratowej: zbiorem wartości jednomianu kwadratowego jest zbiór \(\langle 0;+\infty)\), gdy \(a>0\) oraz \((-\infty;0 \rangle\), gdy \(a<0\).
  • Jednomian kwadratowy jest funkcją parzystą. Oś OY jest osią symetrii paraboli, a punkt przecięcia się tej osi z parabolą jest wierzchołkiem paraboli.
  • Monotoniczność jednomianu kwadratowego: funkcja maleje w przedziale \((-\infty;0)\) i rośnie w przedziale \((0;+\infty)\), gdy \(a>0\) oraz rośnie w przedziale \((-\infty;0)\) i maleje w przedziale \((0;+\infty)\), gdy \(a<0\).
  • Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej. Gdy \(a<0\) funkcja osiąga wartość największą (maksimum) w punkcie \(x=0\) równe \(0\), natomiast dla \(a>0\) funkcja osiąga wartość najmniejszą (minimum) w punkcie \(x=0\) równe \(0\).
  • Jednomian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe \(x_0=0\).

Własności dowolnej funkcji kwadratowej zostały omówione w artykule o wykresie funkcji kwadratowej (link na końcu artykułu).

W artykule tym zbadasz też zmienność wykresu funkcji kwadratowej w zależności od współczynników \(a, b, c\) dzięki aplikacji tam udostępnionej. Można tutaj za pomocą suwaków zmieniać wartości odpowiednich współczynników i obserwować zachowanie wykresu funkcji kwadratowej.

Pytania

Pytania

Czy funkcja kwadratowa i trójmian kwadratowy to jest to samo?

Jest pewna różnica między funkcją kwadratową a trójmianem kwadratowym. Nie każda funkcja kwadratowa jest trójmianem, ale każdy trójmian kwadratowy jest funkcją kwadratową. Istnieją dwumiany i jednomiany, które są funkcjami kwadratowymi (np. \(y=5x^2-3x, y=2x^2\)). Gdy \(a\), \(b\) i \(c\) są różne od zera, wówczas funkcja kwadratowa jest trójmianem kwadratowym.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9). Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-∞,-2>

B. <-2,4>

C. <4,∞)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = x2+x+c. Jeżeli f(3) = 4, to:

A. f(1) = -6

B. f(1) = 0

C. f(1) = 6

D. f(1) = 18

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x) = x2-6x + 3 w przedziale <0,4>.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Liczby (-1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f. Oblicz \frac{f(6)}{f(12)}.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx +c\), której miejsca zerowe to: −3 i 1.

Rysunek do zadania

Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-07-19, A-267
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-17



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.