Funkcja kwadratowa

Definicja

gdzie $x\in{R},\quad{a}\neq{0},\quad{b},\quad{c}$ - liczby dane (rzeczywiste), nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym (gdy b≠0,c≠0) lub funkcją drugiego stopnia.

Przykład

Przykłady funkcji kwadratowych:

$y=5x^2+9x-4\\{y=-x^2-x}\\{y=2x^2-7}\\{y=x^2}$

Szczególnym przypadkiem trójmianu kwadratowego jest jednomian drugiego stopnia (kwadratowy).
Jest to funkcja w postaci . Jest to więc przypadek, w którym .

Funkcja kwadratowa - wzory

Przedstawiamy w tym miejscy przydatne wzory i zagadnienia związane z funkcją kwadratową oraz linki do artykułów, w których wzory te zostały omówione. Jednocześnie prezentujemy różne postacie funkcji kwadratowej.

Zagadnienie	Wzór
Postać ogólna funkcji kwadratowej
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej	Postać iloczynowa: Pierwiastki funkcji kwadratowej (miejsca zerowe funkcji kwadratowej): $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad{x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$ Wyróżnik trójmianu kwadratowego: $\Delta=b^2-4ac$ Miejsce zerowe funkcji kwadratowej, gdy $\Delta=0$ : $x_0=-\frac{b}{2a}$
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego	Postać kanoniczna: $y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$ Wektor przesunięcia: $\vec{u}=[-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}]$ Współrzędne wierzchołka paraboli: $W(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$
Wzory Viete'a	$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}$

Wykres i własności jednomianu kwadratowego

Podstawowe własności funkcji kwadratowej można określić na podstawie przykładu jednomianu kwadratowego.

Wykres trójmianu kwadratowego będziemy sporządzać korzystając z możliwości przesuwania wykresu jednomianu kwadratowego o określony wektor w układzie współrzędnych. Będziemy to omawiać przy okazji postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego.

Przykład

Sporządźmy więc wykres kilku funkcji:

$y=x^2\\{y=-x^2}\\{y=2x^2}\\{y=\frac{1}{2}x^2}$ ,

gdzie a jest dowolną liczbą.

Sporządźmy tabelkę zmienności funkcji.

x	-2	-1	1/2	1	2
y=x²	4	1	1/4	1	4
y=-x²	-4	-1	-1/4	-1	-4
y=2x²	8	2	1/2	2	8
y=1/2x²	2	1/2	1/8	1/2	2

Na jednym układzie współrzędnych wykreślamy wykresy wszystkich funkcji.

Możemy teraz określić podstawowe własności wykresu oraz samej funkcji (jednomianu kwadratowego).

Wykresem jednomianu kwadratowego jest krzywa, którą nazywamy parabolą.
Parabola ma dwa ramiona, które mogą być skierowane w górę, gdy współczynnik a>0 oraz skierowane w dół, kiedy współczynnik a<0.
Im większy jest współczynnik a, tym parabola jest "węższa".
Parabola posiada jeden wierzchołek w punkcie (0,0).
Dziedziną jednomianu kwadratowego jest zbiór liczb rzeczywistych.
Zbiorem wartości jednomianu kwadratowego jest zbiór $<0;+\infty)$ , gdy a>0 oraz $(-\infty;0>$ , gdy a<0.
Jednomian kwadratowy jest funkcją parzystą. Oś OY jest osią symetrii paraboli, a punkt przecięcia się tej osi z parabolą jest wierzchołkiem paraboli.
Monotoniczność jednomianu kwadratowego: funkcja maleje w przedziale $(-\infty;0)$ i rośnie w przedziale $(0;+\infty)$ , gdy a>0 oraz rośnie w przedziale $(-\infty;0)$ i maleje w przedziale $(0;+\infty)$ , gdy a<0.
Gdy a<0 funkcja osiąga wartość największą (maksimum) w punkcie x=0 równe 0, natomiast dla a>0 funkcja osiąga wartość najmniejszą (minimum) w punkcie x=0 równe 0.
Jednomian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe x₀=0.

Zmienność wykresu funkcji kwadratowej w zależności od współczynników a, b, c można prześledzić za pomocą aplikacji udostępnionej na stronie http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Equation_Grapher. Można tutaj za pomocą suwaków zmieniać wartości odpowiednich współczynników i obserwować zachowanie wykresu funkcji kwadratowej.

Pytania

Czy funkcja kwadratowa i trójmian kwadratowy to jest to samo?

Jest pewna różnica między funkcją kwadratową a trójmianem kwadratowym. Nie każda funkcja kwadratowa jest trójmianem, ale każdy trójmian kwadratowy jest funkcją kwadratową. Istnieją dwumiany i jednomiany, które są funkcjami kwadratowymi (np. y=5x²-3x, y=2x²). Gdy a, b i c są różne od zera, wówczas funkcja kwadratowa jest trójmianem kwadratowym.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Funkcja kwadratowa

Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
ilustracja do zadania nr 10 matura 2016
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:

A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2015 (poziom podstawowy)
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x²+x+c. Jeżeli f(3)=4, to :

A. f(1)=-6
B. f(1)=0
C. f(1)=6
D. f(1)=18

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 29, matura 2015 (poziom podstawowy)
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x²-6x+3 w przedziale <0,4>.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Liczby (-1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f . Oblicz $\frac{f(6)}{f(12)}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax^2 + bx +c, której miejsca zerowe to: −3 i 1. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego y=ax^2+bx+c jest następująca: y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}.

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Trójmian kwadratowy y=ax^2+bx+c można rozłożyć na czynniki liniowe. Jest to możliwe w przypadku, gdy Delta>=0.

Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.