Funkcja kwadratowa
Definicja
Funkcję w postaci

gdzie - liczby dane (rzeczywiste), nazywamy funkcją kwadratową, trójmianem kwadratowym lub funkcją drugiego stopnia.
Przykład
Przykłady funkcji kwadratowych:
Szczególnym przypadkiem trójmianu kwadratowego jest jednomian drugiego stopnia (kwadratowy).
Jest to funkcja w postaci . Jest to więc przypadek, w którym
.
Funkcja kwadratowa - wzory
Przedstawiamy w tym miejscy przydatne wzory i zagadnienia związane z funkcją kwadratową oraz linki do artykułów, w których wzory te zostały omówione. Jednocześnie prezentujemy różne postacie funkcji kwadratowej.
Zagadnienie | Wzór |
Postać ogólna funkcji kwadratowej | ![]() |
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej | Postać iloczynowa:![]() Pierwiastki funkcji kwadratowej (miejsca zerowe funkcji kwadratowej): ![]() Wyróżnik trójmianu kwadratowego: ![]() Miejsce zerowe funkcji kwadratowej, gdy ![]() ![]() |
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego | Postać kanoniczna:![]() Wektor przesunięcia: ![]() Współrzędne wierzchołka paraboli: ![]() |
Wzory Viete'a | ![]() |
Wykres i własności jednomianu kwadratowego
Podstawowe własności funkcji kwadratowej można określić na podstawie przykładu jednomianu kwadratowego.
Wykres trójmianu kwadratowego będziemy sporządzać korzystając z możliwości przesuwania wykresu jednomianu kwadratowego o określony wektor w układzie współrzędnych. Będziemy to omawiać przy okazji postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego.
Przykład
Sporządźmy więc wykres kilku funkcji:
,
gdzie a jest dowolną liczbą.
Sporządźmy tabelkę zmienności funkcji.
x | -2 | -1 | 0 | 1/2 | 1 | 2 |
y=x2 | 4 | 1 | 0 | 1/4 | 1 | 4 |
y=-x2 | -4 | -1 | 0 | -1/4 | -1 | -4 |
y=2x2 | 8 | 2 | 0 | 1/2 | 2 | 8 |
y=1/2x2 | 2 | 1/2 | 0 | 1/8 | 1/2 | 2 |
Na jednym układzie współrzędnych wykreślamy wykresy wszystkich funkcji.

Możemy teraz określić podstawowe własności wykresu oraz samej funkcji (jednomianu kwadratowego).
- Wykresem jednomianu kwadratowego jest krzywa, którą nazywamy parabolą.
Parabola ma dwa ramiona, które mogą być skierowane w górę, gdy współczynnik a>0 oraz skierowane w dół, kiedy współczynnik a<0. - Im większy jest współczynnik a, tym parabola jest "węższa".
- Parabola posiada jeden wierzchołek w punkcie (0,0).
- Dziedziną jednomianu kwadratowego jest zbiór liczb rzeczywistych.
- Zbiorem wartości jednomianu kwadratowego jest zbiór
, gdy a>0 oraz
, gdy a<0.
- Jednomian kwadratowy jest funkcją parzystą. Oś OY jest osią symetrii paraboli, a punkt przecięcia się tej osi z parabolą jest wierzchołkiem paraboli.
- Monotoniczność jednomianu kwadratowego: funkcja maleje w przedziale
i rośnie w przedziale
, gdy a>0 oraz rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
, gdy a<0.
- Gdy a<0 funkcja osiąga wartość największą (maksimum) w punkcie x=0 równe 0, natomiast dla a>0 funkcja osiąga wartość najmniejszą (minimum) w punkcie x=0 równe 0.
- Jednomian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe x0=0.
Zmienność wykresu funkcji kwadratowej w zależności od współczynników a, b, c można prześledzić za pomocą aplikacji udostępnionej na stronie http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Equation_Grapher. Można tutaj za pomocą suwaków zmieniać wartości odpowiednich współczynników i obserwować zachowanie wykresu funkcji kwadratowej.
© medianauka.pl, 2009-07-19, ART-267
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Funkcja kwadratowa
Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby -2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział:
A. (-∞,-2>
B. <-2,4>
C. <4,∞)
Zadanie maturalne nr 11, matura 2015 (poziom podstawowy)
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x)=x2+x+c. Jeżeli f(3)=4, to :
A. f(1)=-6
B. f(1)=0
C. f(1)=6
D. f(1)=18
Zadanie maturalne nr 29, matura 2015 (poziom podstawowy)
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x2-6x+3 w przedziale <0,4>.
Zadanie maturalne nr 7, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Liczby (-1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f . Oblicz .
Zadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom podstawowy)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = ax^2 + bx +c,
której miejsca zerowe to: −3 i 1.
Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Inne zagadnienia z tej lekcji

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego y=ax^2+bx+c jest następująca: y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}.

Trójmian kwadratowy y=ax^2+bx+c można rozłożyć na czynniki liniowe. Jest to możliwe w przypadku, gdy Delta>=0.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.