Logo Media Nauka

Wzory Viete'a

Teoria Jeżeli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to prawdziwe są wzory Viete'a (czytaj: wzory Vieta):

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}

Jeżeli równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek, to wzory Viete'a przyjmują postać:
2x_0=-\frac{b}{a}\\{x_0}^2=\frac{c}{a}

Wyprowadzenie wzorów Viete'a

Aby dowieść prawdziwości wzorów Viete'a wystarczy obliczyć sumę pierwiastków równania kwadratowego:
x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}
oraz iloczyn pierwiastków równania kwadratowego:
x_1\cdot{x_2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\cdot{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{\Delta})^2}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}

Zastosowanie wzorów Viete'a

Teoria Wzory Viete'a są pomocne przy układaniu równań kwadratowych lub wówczas, gdy mamy pewną wiedzę na temat pierwiastków równania. Poniżej przykład takiego zadania.

zadanie Zadanie

Znaleźć dowolne równanie kwadratowe, którego suma pierwiastków jest równa 4, a iloczyn jest równy 2.

Korzystając z wzorów Viete'a mamy:
4=-\frac{b}{a}\quad{i}\quad{2}=\frac{c}{a}
b=-4a\quad{i}\quad{c}=2a

Zatem równanie kwadratowe będzie miało postać:
ax^2+bx+c=0\\ax^2-4ax+2a
przy czym a może być dowolną liczbą różną od zera. Ponieważ mamy znaleźć dowolne równanie kwadratowe, możemy przyjąć dowolną wartość a. Jeżeli założymy, że a=1, to mamy odpowiedź, zawierającą przykładowe równanie:

Odpowiedź: x^2-4x+2=0

Wzory Viete'a dla wielomianu n-tego stopnia

Wzory Viete'a obowiązują także dla wielomianów wyższego stopnia niż drugi. Poniżej zamieszczamy odpowiednie relacje między pierwiastkami x1, x2, ... xn równania
an+an-1xn-1+...+a0=0

x_1+x_2+...+x_n=-a_{n-1}\\{x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n=a_{n-2}}\\{x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+...+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-a_{n-3}}\\{...}\\x_1x_2...x_n=(-1)^na_0

Zastosujmy powyższy wzór dla równania kwadratowego, aby dobrze go zrozumieć.

Mamy ogólną postać równania kwadratowego: ax^2+bx+c=0. Aby dostosować go do postaci an+an-1xn-1+...+a0=0, musimy podzielić obie strony równania przez a. Otrzymujemy więc:

ax^2+bx+c=0/:a\\ x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=0

Zatem an-1=b/a oraz an-2=c/a. Otrzymaliśmy wzory z początku artykułu:
x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}

Wzory Viete'a 3-ego stopnia

x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\frac{d}{a}\\x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3=\frac{c}{a}

Wzory Viete'a 4-ego stopnia

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0{,\ }a\neq 0\\x_1+x_2+x_3+x_4=\frac{-b}{a}\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{c}{a}\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=\frac{-d}{a}\\x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}


© medianauka.pl, 2009-07-21, ART-272





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Wzory Viete'a

zadanie-ikonka Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x^2-x+m=0 jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x^2+dx+1=0 jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \frac{17}{4} a suma odwrotności pierwiastków jest równa \frac{3}{2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe x^2+mx-3=0 jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie kwadratoweRównanie kwadratowe
Równanie w postaci ax^2+bx+c=0 nazywamy równaniem kwadratowym lub równaniem drugiego stopnia.
Równanie dwukwadratoweRównanie dwukwadratowe
Równanie w postaci ax^4+bx^2+c=0 nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy dokonać podstawienia z=x2.
Równanie kwadratowe z parametremRównanie kwadratowe z parametrem
Czasem w równaniach stosuje się oznaczenia literowe - parametry. W takim równaniu musimy wskazać niewiadomą. Parametryzujemy równania w celu jego uogólnienia.



© Media Nauka 2008-2018 r.