Teoria zbiorów

Teoria zbiorów albo teoria mnogości jest to dział matematyki, który zajmuje się ogólnymi własnościami zbiorów. Zbiór to podstawowe pojęcie w matematyce. To pojęcie pierwotne, niepodlegające definicji. Omawiamy tu podstawowe pojęcia związane ze zbiorami i ilustrujemy podstawowe działania na zbiorach. Jest to podstawa współczesnej matematyki. Dla teorii mnogości nie ma znaczenia, jakie elementy należą do danego zbioru. Mogą to być liczby, punkty, proste, figury geometryczne lub inne obiekty.

Za twórcę teorii zbiorów uważa się Georga Cantora (1845-1918). To dziś podstawowa dyscyplina matematyki, która stanowi niezbędne narzędzie dla pozostałych dziedzin matematycznych.

Zbiór

Podzbiory

Suma zbiorów

Różnica zbiorów

Iloczyn zbiorów

Iloczyn kartezjański zbiorów

Prawa de Morgana

Ćwiczenia z teorii zbiorów

Zbiory i działania na zbiorach

Zadania z działu teoria zbiorów

Diagramy Venna

Diagramy Venna są to figury płaskie, które obrazują zbiory oraz operacje wykonywane nad nimi.

Oto przykład diagramów Venna:

Aksjomatyczna teoria mnogości

Istnieje tak zwana aksjomatyczna teoria zbiorów, która stanowi podstawę dzisiejszej teorii mnogości. Z teorii tej można wyrazić wszystkie pojęcia i twierdzenia matematyki. Twórcami aksjomatycznej teorii mnogości są Ernest Zermelo oraz Abraham Adolf Fraenkel.

Teoria ta opiera się na pojęciu pierwotnym zbioru i relacji należenia do zbioru oraz prawdziwości następujących aksjomatów:

• Aksjomat ekstensjonalności. Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy należą do nich te same elementy.
• Aksjomat istnienia. Istnieje zbiór pusty, do którego nie należy żaden element.
• Aksjomat pary. Dla dowolnych dwóch zbiorów A i B istnieje zbiór C, którego jedynymi elementami są te dwa zbiory.
• Aksjomat sumy. Dla każdego zbioru A istnieje zbiór, do którego należą wszystkie elementy zbioru A i żaden inny element. Z aksjomatu tego można wywnioskować istnienie sumy dwóch zbiorów.
• Aksjomat nieskończoności. Istnieje taki zbiór X, że należy do niego zbiór pusty i jeżeli należy do niego zbiór B, to należy do niego suma zbioru B i zbioru jednoelementowego, do którego należy tylko zbiór B.
• Aksjomat zastępowania. Przekrój (część wspólna) dowolnego zbioru i klasy zdefiniowanej przez dowolną formułę jest zbiorem.
• Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru A istnieje jego zbiór potęgowy, czyli taki zbiór, do którego należą wszystkie podzbiory A.
• Aksjomat regularności. Każdy niepusty zbiór x zawiera taki element y, że x i y są rozłączne. Oznacza to, że żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem.

Narzędzia

Oto kalkulatory związane z teorią mnogości.

Iloczyn kartezjański

Suma, różnica i iliczyn zbiorów

© medianauka.pl, 2022-12-28, ZAD-4569

Zadania podobne

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).

Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).

Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).

Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie

\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.