Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a

Zadanie maturalne nr 3, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x²−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁ i x₂, przy czym x₁<x₂, spełniające warunek (4x₁-4x₂-1)(4x₁-4x₂+1)<0.

Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, dla którego podano pewnien warunek wiążący w pewną zależnośc pierwiastki tego równania. Sprawdźmy w pierwszej kolejności, czy da się tu zastosować wzory Viete'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}$

Część pierwsza rozwiązania

Spróbujemy przekształcić nieco nierówność

$ (4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0 $

tak, aby otrzymać sumę i iloczyn pierwiastków. Jeżeli za a podstawimy 4x₁-4x₂, to:

$ (a-1)(a+1)<0 $

czyli:

$ a^2-1<0 $

$ (4x_1-4x_2)^2-1<0 $

$ 16(x_1-x_2)^2-1<0 $

$ 16(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)-1<0 $

Zrobimy teraz pewien sprytny wybieg. Mamy już iloczyn pierwiastków, ale brakuje nam sumy. Dodajmy więc i odejmijmy w nawiasie taki sam czynnik:

$ 16[x_1^2+(2x_1x_2-2x_1x_2)-2x_1x_2+x_2^2]-1<0 $

$ 16(x_1^2+2x_1x_2-4x_1x_2+x_2^2)-1<0 $

$ 16[(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2]-1<0 $

$ 16(x_1^2+2x_1x_2-4x_1x_2+x_2^2)-1<0 $

$ 16[(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2]-1<0 $

$ 16[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]-1<0 $

Możemy teraz wprost skorzystać ze wzorów Viete'a:

$ 16[(-\frac{b}{a})^2-4\cdot (\frac{c}{a})]-1<0 $

W naszym przypadku a=4, b=-6m, c=(2m+3)(m-3):

$ 16[\frac{36m^2}{16}-4\cdot (\frac{(2m+3)(m-3)}{4})]-1<0 $

$ 36m^2-16(2m+3)(m-3)-1<0 $

$ 36m^2-16(2m^2-3m-9)-1<0 $

$ 4m^2+48m+143<0 $

$ \Delta=2304-2288=16 $

$m_1=\frac{-48-4}{8}=-\frac{13}{2} $

$m_1=\frac{-48+4}{8}=-\frac{11}{2} $

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres tego trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach m₁ i m₂, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na trzeci wykres na poniższym rysunku). wykres trójmianu kwadraowego Interesują nas wartości mniejsze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału (m₁;m₂) - nierówność jest ostra, więc przedział jest otwarty.

$ m \in (-\frac{13}{2} ;-\frac{11}{2}) $

Częśc druga zadania

Mamy wszystkie wartości parametru m, dla których spełniony jest warunk w treści zadania:(4x₁-4x₂-1)(4x₁-4x₂+1)<0, ale nasze równanie powinno mieć jeszcze dwa różne rozwiązania. Zatem musi być spełniony warunek:

$ \Delta_x>0 $

Dla naszego równania 4x²−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 otrzymujemy:

$ 36m^2-16(2m+3)(m-3)>0 $

$ 36m^2-16(2m^2-3m-9)>0/:4 $

$ m^2+12m+36>0 $

$ \Delta_m=144-144=0 $

$ m_0=\frac{-12}{2}=-6 $

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres tego trójmianu przecina oś OX w m₀, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na drugi wykres na powniższym rysunku). wykres trójmianu kwadraowego Interesują nas wartości wieksze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów ze zbioru R\{m₀}.

$ m \in (-\infty ;-6)\cup (-6;+\infty ) $

Uwzględniając warunek z pierwszej części zadania:

$ m \in (-\frac{13}{2} ;-\frac{11}{2}) $

Znajdujemy częśc wspólną tych przedziałów i udzielamy odpowiedzi

Odpowiedź

$ m \in (-\frac{13}{2} ;-6)\cup (-6;-\frac{13}{2} ) $

Zadania podobne

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0

ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego

jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa $\frac{17}{4}$ a suma odwrotności pierwiastków jest równa $\frac{3}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe

jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ tego samego znaku, spełniające warunek |x₁-x₂|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy

. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² + (m+1)x−m²+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x₁ i x₂ (x₁≠x₂), spełniające warunek x³₁+x³₂> −7x₁x₂ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.