Zadanie maturalne nr 3, matura 2017 (poziom rozszerzony)


Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 i x2, przy czym x1<x2, spełniające warunek (4x1-4x2-1)(4x1-4x2+1)<0.

ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, dla którego podano pewnien warunek wiążący w pewną zależnośc pierwiastki tego równania. Sprawdźmy w pierwszej kolejności, czy da się tu zastosować wzory Viete'a:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}

Część pierwsza rozwiązania

Spróbujemy przekształcić nieco nierówność

\( (4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0 \)

tak, aby otrzymać sumę i iloczyn pierwiastków. Jeżeli za a podstawimy 4x1-4x2, to:

\( (a-1)(a+1)<0 \)

czyli:

\( a^2-1<0 \)

\( (4x_1-4x_2)^2-1<0 \)

\( 16(x_1-x_2)^2-1<0 \)

\( 16(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)-1<0 \)

Zrobimy teraz pewien sprytny wybieg. Mamy już iloczyn pierwiastków, ale brakuje nam sumy. Dodajmy więc i odejmijmy w nawiasie taki sam czynnik:

\( 16[x_1^2+(2x_1x_2-2x_1x_2)-2x_1x_2+x_2^2]-1<0 \)

\( 16(x_1^2+2x_1x_2-4x_1x_2+x_2^2)-1<0 \)

\( 16[(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2]-1<0 \)

\( 16(x_1^2+2x_1x_2-4x_1x_2+x_2^2)-1<0 \)

\( 16[(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2]-1<0 \)

\( 16[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]-1<0 \)

Możemy teraz wprost skorzystać ze wzorów Viete'a:

\( 16[(-\frac{b}{a})^2-4\cdot (\frac{c}{a})]-1<0 \)

W naszym przypadku a=4, b=-6m, c=(2m+3)(m-3):

\( 16[\frac{36m^2}{16}-4\cdot (\frac{(2m+3)(m-3)}{4})]-1<0 \)

\( 36m^2-16(2m+3)(m-3)-1<0 \)

\( 36m^2-16(2m^2-3m-9)-1<0 \)

\( 4m^2+48m+143<0 \)

\( \Delta=2304-2288=16 \)

\(m_1=\frac{-48-4}{8}=-\frac{13}{2} \)

\(m_1=\frac{-48+4}{8}=-\frac{11}{2} \)

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres tego trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach m1 i m2, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na trzeci wykres na poniższym rysunku). wykres trójmianu kwadraowego Interesują nas wartości mniejsze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału (m1;m2) - nierówność jest ostra, więc przedział jest otwarty.

\( m \in (-\frac{13}{2} ;-\frac{11}{2}) \)

Częśc druga zadania

Mamy wszystkie wartości parametru m, dla których spełniony jest warunk w treści zadania:(4x1-4x2-1)(4x1-4x2+1)<0, ale nasze równanie powinno mieć jeszcze dwa różne rozwiązania. Zatem musi być spełniony warunek:

\( \Delta_x>0 \)

Dla naszego równania 4x2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 otrzymujemy:

\( 36m^2-16(2m+3)(m-3)>0 \)

\( 36m^2-16(2m^2-3m-9)>0/:4 \)

\( m^2+12m+36>0 \)

\( \Delta_m=144-144=0 \)

\( m_0=\frac{-12}{2}=-6 \)

Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres tego trójmianu przecina oś OX w m0, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na drugi wykres na powniższym rysunku). wykres trójmianu kwadraowego Interesują nas wartości wieksze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów ze zbioru R\{m0}.

\( m \in (-\infty ;-6)\cup (-6;+\infty ) \)

Uwzględniając warunek z pierwszej części zadania:

\( m \in (-\frac{13}{2} ;-\frac{11}{2}) \)

Znajdujemy częśc wspólną tych przedziałów i udzielamy odpowiedzi

ksiązki Odpowiedź

\( m \in (-\frac{13}{2} ;-6)\cup (-6;-\frac{13}{2} ) \)

© medianauka.pl, 2022-12-28, ZAD-4569

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x^2-x+m=0 jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x^2+dx+1=0 jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \frac{17}{4} a suma odwrotności pierwiastków jest równa \frac{3}{2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe x^2+mx-3=0 jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.