Zadanie maturalne nr 3, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, dla którego podano pewnien warunek wiążący w pewną zależnośc pierwiastki tego równania. Sprawdźmy w pierwszej kolejności, czy da się tu zastosować wzory Viete'a:

Część pierwsza rozwiązania
Spróbujemy przekształcić nieco nierówność
\( (4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0 \)
tak, aby otrzymać sumę i iloczyn pierwiastków. Jeżeli za a podstawimy 4x1-4x2, to:
\( (a-1)(a+1)<0 \)
czyli:
\( a^2-1<0 \)
\( (4x_1-4x_2)^2-1<0 \)
\( 16(x_1-x_2)^2-1<0 \)
\( 16(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)-1<0 \)
Zrobimy teraz pewien sprytny wybieg. Mamy już iloczyn pierwiastków, ale brakuje nam sumy. Dodajmy więc i odejmijmy w nawiasie taki sam czynnik:
\( 16[x_1^2+(2x_1x_2-2x_1x_2)-2x_1x_2+x_2^2]-1<0 \)
\( 16(x_1^2+2x_1x_2-4x_1x_2+x_2^2)-1<0 \)
\( 16[(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2]-1<0 \)
\( 16(x_1^2+2x_1x_2-4x_1x_2+x_2^2)-1<0 \)
\( 16[(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2]-1<0 \)
\( 16[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]-1<0 \)
Możemy teraz wprost skorzystać ze wzorów Viete'a:
\( 16[(-\frac{b}{a})^2-4\cdot (\frac{c}{a})]-1<0 \)
W naszym przypadku a=4, b=-6m, c=(2m+3)(m-3):
\( 16[\frac{36m^2}{16}-4\cdot (\frac{(2m+3)(m-3)}{4})]-1<0 \)
\( 36m^2-16(2m+3)(m-3)-1<0 \)
\( 36m^2-16(2m^2-3m-9)-1<0 \)
\( 4m^2+48m+143<0 \)
\( \Delta=2304-2288=16 \)
\(m_1=\frac{-48-4}{8}=-\frac{13}{2} \)
\(m_1=\frac{-48+4}{8}=-\frac{11}{2} \)
Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres tego trójmianu przecina oś OX w dwóch miejscach m1 i m2, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na trzeci wykres na poniższym rysunku). Interesują nas wartości mniejsze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów z przedziału (m1;m2) - nierówność jest ostra, więc przedział jest otwarty.
\( m \in (-\frac{13}{2} ;-\frac{11}{2}) \)
Częśc druga zadania
Mamy wszystkie wartości parametru m, dla których spełniony jest warunk w treści zadania:(4x1-4x2-1)(4x1-4x2+1)<0, ale nasze równanie powinno mieć jeszcze dwa różne rozwiązania. Zatem musi być spełniony warunek:
\( \Delta_x>0 \)
Dla naszego równania 4x2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 otrzymujemy:
\( 36m^2-16(2m+3)(m-3)>0 \)
\( 36m^2-16(2m^2-3m-9)>0/:4 \)
\( m^2+12m+36>0 \)
\( \Delta_m=144-144=0 \)
\( m_0=\frac{-12}{2}=-6 \)
Wyróżnik jest większy od zera, współczynnik a również, więc wykres tego trójmianu przecina oś OX w m0, a ramiona paraboli skierowane są w górę (spójrzmy na drugi wykres na powniższym rysunku). Interesują nas wartości wieksze od zera, więc dotyczy to wszystkich argumentów ze zbioru R\{m0}.
\( m \in (-\infty ;-6)\cup (-6;+\infty ) \)
Uwzględniając warunek z pierwszej części zadania:
\( m \in (-\frac{13}{2} ;-\frac{11}{2}) \)
Znajdujemy częśc wspólną tych przedziałów i udzielamy odpowiedzi
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2022-12-28, ZAD-4569
Zadania podobne

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego

Pokaż rozwiązanie zadania

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa


Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie kwadratowe

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójmian kwadratowy


Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .
Pokaż rozwiązanie zadania