Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a

Zadanie - zastosowanie wzorów Viete'a

Rozwiązać równanie kwadratowe

jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=2 \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$
$\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=2 \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=2 \\ -\frac{b}{c}=2$
$x^2+mx-3=0\\ -\frac{m}{-3}=2/\cdot 3\\ m=6$
$x^2+6x-3=0\\ \Delta=36+12=48\\ x_1=\frac{-6-4\sqrt{3}}{2}=\frac{\cancel{2}(-3-2\sqrt{3})}{\cancel{2}}=-3-2\sqrt{3}\\ x_2=\frac{-6+4\sqrt{3}}{2}=\frac{\cancel{2}(-3+2\sqrt{3})}{\cancel{2}}=-3+2\sqrt{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z warunkami zadania mamy:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=2 \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$

Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Otrzymujemy więc:

$\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=2 \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=2 \\ -\frac{b}{c}=2$

Nasze równanie ma postać:

$x^2+mx-3=0\\ a=1\\ b=m \\c=-3 \\ -\frac{m}{-3}=2/\cdot 3\\ m=6$

Znamy już wartość m, więc można rozwiązać równanie:

$x^2+6x-3=0\\ a=1\\ b=6 \\c=-3 \\ \Delta=b^2-4ac=36+12=48\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{3\cdot 16}=4\sqrt{3}\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6-4\sqrt{3}}{2}=\frac{\cancel{2}(-3-2\sqrt{3})}{\cancel{2}}=-3-2\sqrt{3}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6+4\sqrt{3}}{2}=\frac{\cancel{2}(-3+2\sqrt{3})}{\cancel{2}}=-3+2\sqrt{3}$