Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - zastosowanie wzorów Viete'a

Rozwiązać równanie kwadratowe x^2+mx-3=0 jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=2 \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2
\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=2 \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=2 \\ -\frac{b}{c}=2
x^2+mx-3=0\\ -\frac{m}{-3}=2/\cdot 3\\ m=6
x^2+6x-3=0\\ \Delta=36+12=48\\ x_1=\frac{-6-4\sqrt{3}}{2}=\frac{\cancel{2}(-3-2\sqrt{3})}{\cancel{2}}=-3-2\sqrt{3}\\ x_2=\frac{-6+4\sqrt{3}}{2}=\frac{\cancel{2}(-3+2\sqrt{3})}{\cancel{2}}=-3+2\sqrt{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z warunkami zadania mamy:

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=2 \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2

Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

Otrzymujemy więc:

\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=2 \\ -\frac{b}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{c}=2 \\ -\frac{b}{c}=2

Nasze równanie ma postać:

x^2+mx-3=0\\ a=1\\ b=m \\c=-3 \\ -\frac{m}{-3}=2/\cdot 3\\ m=6

Znamy już wartość m, więc można rozwiązać równanie:

x^2+6x-3=0\\ a=1\\ b=6 \\c=-3 \\ \Delta=b^2-4ac=36+12=48\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{3\cdot 16}=4\sqrt{3}\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6-4\sqrt{3}}{2}=\frac{\cancel{2}(-3-2\sqrt{3})}{\cancel{2}}=-3-2\sqrt{3}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-6+4\sqrt{3}}{2}=\frac{\cancel{2}(-3+2\sqrt{3})}{\cancel{2}}=-3+2\sqrt{3}

ksiązki Odpowiedź

x_1=-3-2\sqrt{3}, \ x_2=-3+2\sqrt{3}

© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-608





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x^2-x+m=0 jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x^2+dx+1=0 jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \frac{17}{4} a suma odwrotności pierwiastków jest równa \frac{3}{2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.