Nauka » Matematyka » Nierówność wielomianowa Wzory Viete'a

Zadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 + (m+1)x−m^2+1=0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$ $(x_1\neq x_2)$, spełniające warunek $x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2$.

Rozwiązanie zadania

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy Δ>0. Zatem:

$(m+1)^2-4(-m^2+1)>0$

$ 5m^2+2m-3>0$

$ \Delta_m=4-4\cdot 5\cdot(-3)=64$

$ m_1=\frac{-2-8}{10}=-1$

$ m_2=\frac{-2+8}{10}=\frac{3}{5}$

Współczynnik przy m² jest dodatni, mamy dwa różne pierwiastki, więc pamiętając własności wykresów funkcji kwadratowej (trzeci wykres w pierwszym rzędzie):

Wykres funkcji kwadratowej

Mamy:

$ m\in (-\infty;-1)\cup (\frac{3}{5};+\infty)$

Nasze pierwiastki muszą spełniać nierówność:

$ x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2$

Jeżeli mamy sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego, to należy skorzystać ze wzorów Viete'a, po przekształceniu wyrażenia do takiej postaci, aby wystąpiły tylko zależności:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}$

Przekształcamy nasze wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $

Mamy więc:

$ x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2$

$ (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)>-7x_1x_2$

$ (x_1+x_2)(\underline{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}-2x_1x_2-x_1x_2)>-7x_1x_2$

$ (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]>-7x_1x_2$

Skorzystamy teraz ze wzorów Viete'a:

$ -\frac{b}{a}[(-\frac{b}{a})^2-3\frac{c}{a}]>-7\frac{c}{a}$

$ a=1, b=m+1, c=1-m^2$

$ -b[(-b)^2-3c]>-7c/\cdot (-1)$

$ b(b^2-3c)-7c<0$

$ b=m+1, c=1-m^2$

$ (m+1)[(m+1)^2-3(1-m^2)]-7(1-m^2)<0$

$ \underline{(m+1)}(m^2+2m+1-3+3m^2)]-7(1-m)\underline{(m+1)}<0$

Wyłączamy m+1 przed nawias:

$ (m+1)[4m^2+2m-2-7(1-m)]<0$

$ (m+1)\underline{(4m^2+9m-9)}<0$

znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$ \Delta=81+4\cdot 4\cdot 9=225$

$ \sqrt{\Delta}=15$

$ m_1=\frac{-9-15}{8}=-3$

$ m_2=\frac{-9+15}{8}=\frac{3}{4}$

Nie zapominajmy, że

$ m_3=-1$

Mamy więc nierówność:

$(m+3)(m+1)(m-\frac{3}{4})<0$

Zbadajmy siatkę znaków:

x	(-∞-3)	-3	(-3;-1)	-1	(-1;3/4)	3/4	(3/4;+∞)
m+3	-	0	+	+	+	+	+
m+1	-	-	-	0	+	+	+
m-3/4	-	-	-	-	-	0	+
W(m)	-	0	+	0	-	0	+

Zatem warunek $ x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2$ jest spełniony dla $ m\in (-\infty;-3)\cup(-1;\frac{3}{4})$

Znajdując część wspólną z warunku z pierwszej części zadania: $ m\in (-\infty;-1)\cup (\frac{3}{5};+\infty)$ otrzymujemy rozwiązanie:

Odpowiedź

$ m\in (-\infty;-3)\cup (\frac{3}{5};\frac{3}{4})$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dla jakich wartości parametru $m$ suma odwrotności pierwiastków równania $x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0$ ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego $x^2-x+m=0$ jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego $x^2+dx+1=0$ jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa $\frac{17}{4}$, a suma odwrotności pierwiastków jest równa $\frac{3}{2}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie kwadratowe $x^2+mx-3=0$, jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1$. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ tego samego znaku, spełniające warunek $|x_1-x_2|<3$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$, spełniające warunek $x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, przy czym $x_1<x_2$, spełniające warunek $(4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$, spełniające warunek $(x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Dane jest równanie kwadratowe $x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0$ z niewiadomą $x$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których różne rozwiązania $x_1$ i $x_2$tego równania istnieją i spełniają warunek $2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-(m+1)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki: $x_1\neq 0, x_2\neq 0$ oraz $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\neq 2$, dla których równanie

$x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0$

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek $x_1^3+x_2^3>-28$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.