Nauka » Matematyka » Wzory Viete'a Nierówność wielomianowa

Zadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 + (m+1)x−m^2+1=0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$ $(x_1\neq x_2)$, spełniające warunek $x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2$.

Rozwiązanie zadania

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy Δ>0. Zatem:

$(m+1)^2-4(-m^2+1)>0$

$ 5m^2+2m-3>0$

$ \Delta_m=4-4\cdot 5\cdot(-3)=64$

$ m_1=\frac{-2-8}{10}=-1$

$ m_2=\frac{-2+8}{10}=\frac{3}{5}$

Współczynnik przy m² jest dodatni, mamy dwa różne pierwiastki, więc pamiętając własności wykresów funkcji kwadratowej (trzeci wykres w pierwszym rzędzie):

Wykres funkcji kwadratowej

Mamy:

$ m\in (-\infty;-1)\cup (\frac{3}{5};+\infty)$

Nasze pierwiastki muszą spełniać nierówność:

$ x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2$

Jeżeli mamy sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego, to należy skorzystać ze wzorów Viete'a, po przekształceniu wyrażenia do takiej postaci, aby wystąpiły tylko zależności:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}$

Przekształcamy nasze wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $

Mamy więc:

$ x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2$

$ (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)>-7x_1x_2$

$ (x_1+x_2)(\underline{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}-2x_1x_2-x_1x_2)>-7x_1x_2$

$ (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]>-7x_1x_2$

Skorzystamy teraz ze wzorów Viete'a:

$ -\frac{b}{a}[(-\frac{b}{a})^2-3\frac{c}{a}]>-7\frac{c}{a}$

$ a=1, b=m+1, c=1-m^2$

$ -b[(-b)^2-3c]>-7c/\cdot (-1)$

$ b(b^2-3c)-7c<0$

$ b=m+1, c=1-m^2$

$ (m+1)[(m+1)^2-3(1-m^2)]-7(1-m^2)<0$

$ \underline{(m+1)}(m^2+2m+1-3+3m^2)]-7(1-m)\underline{(m+1)}<0$

Wyłączamy m+1 przed nawias:

$ (m+1)[4m^2+2m-2-7(1-m)]<0$

$ (m+1)\underline{(4m^2+9m-9)}<0$

znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$ \Delta=81+4\cdot 4\cdot 9=225$

$ \sqrt{\Delta}=15$

$ m_1=\frac{-9-15}{8}=-3$

$ m_2=\frac{-9+15}{8}=\frac{3}{4}$

Nie zapominajmy, że

$ m_3=-1$

Mamy więc nierówność:

$(m+3)(m+1)(m-\frac{3}{4})<0$

Zbadajmy siatkę znaków:

x	(-∞-3)	-3	(-3;-1)	-1	(-1;3/4)	3/4	(3/4;+∞)
m+3	-	0	+	+	+	+	+
m+1	-	-	-	0	+	+	+
m-3/4	-	-	-	-	-	0	+
W(m)	-	0	+	0	-	0	+

Zatem warunek $ x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2$ jest spełniony dla $ m\in (-\infty;-3)\cup(-1;\frac{3}{4})$

Znajdując część wspólną z warunku z pierwszej części zadania: $ m\in (-\infty;-1)\cup (\frac{3}{5};+\infty)$ otrzymujemy rozwiązanie:

Odpowiedź

$ m\in (-\infty;-3)\cup (\frac{3}{5};\frac{3}{4})$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność:

a) $x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0$,

b) $x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność $(x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność $x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność $\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiąż nierówność: $\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać nierówność $\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dla jakich wartości parametru $m$ suma odwrotności pierwiastków równania $x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0$ ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba $\frac{2}{5}$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=5x^3−7x^2−3x+p$. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność $W(x)>0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m$ przez dwumian $x+2$ jest równa (−30). Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x)\geq 0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.