Zadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)


Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .


ksiązki Rozwiązanie zadania

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy Δ>0. Zatem:

\((m+1)^2-4(-m^2+1)>0\)

\( 5m^2+2m-3>0\)

\( \Delta_m=4-4\cdot 5\cdot(-3)=64\)

\( m_1=\frac{-2-8}{10}=-1\)

\( m_2=\frac{-2+8}{10}=\frac{3}{5}\)

Współczynnik przy m2 jest dodatni, mamy dwa różne pierwiastki, więc pamiętając własności wykresów funkcji kwadratowej (trzeci wykres w pierwszym rzędzie):

Wykres funkcji kwadratowej

Mamy:

\( m\in (-\infty;-1)\cup (\frac{3}{5};+\infty)\)

Nasze pierwiastki muszą spełniać nierówność:

\( x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2\)

Jeżeli mamy sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego, to należy skorzystać ze wzorów Viete'a, po przekształceniu wyrażenia do takiej postaci, aby wystąpiły tylko zależności:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}

Przekształcamy nasze wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \)

Mamy więc:

\( x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2\)

\( (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)>-7x_1x_2\)

\( (x_1+x_2)(\underline{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}-2x_1x_2-x_1x_2)>-7x_1x_2\)

\( (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]>-7x_1x_2\)

Skorzystamy teraz ze wzorów Viete'a:

\( -\frac{b}{a}[(-\frac{b}{a})^2-3\frac{c}{a}]>-7\frac{c}{a}\)

\( a=1, b=m+1, c=1-m^2\)

\( -b[(-b)^2-3c]>-7c/\cdot (-1)\)

\( b(b^2-3c)-7c<0\)

\( b=m+1, c=1-m^2\)

\( (m+1)[(m+1)^2-3(1-m^2)]-7(1-m^2)<0\)

\( \underline{(m+1)}(m^2+2m+1-3+3m^2)]-7(1-m)\underline{(m+1)}<0\)

Wyłączamy m+1 przed nawias:

\( (m+1)[4m^2+2m-2-7(1-m)]<0\)

\( (m+1)\underline{(4m^2+9m-9)}<0\)

znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

\( \Delta=81+4\cdot 4\cdot 9=225\)

\( \sqrt{\Delta}=15\)

\( m_1=\frac{-9-15}{8}=-3\)

\( m_2=\frac{-9+15}{8}=\frac{3}{4}\)

Nie zapominajmy, że

\( m_3=-1\)

Mamy więc nierówność:

\((m+3)(m+1)(m-\frac{3}{4})<0\)

Zbadajmy siatkę znaków:

x (-∞-3)-3(-3;-1)-1(-1;3/4)3/4(3/4;+∞)
m+3 - 0 + + + ++
m+1 - - - 0+++
m-3/4 --- - - 0+
W(m) - 0 + 0- 0 +

 

Zatem warunek \( x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2\) jest spełniony dla \( m\in (-\infty;-3)\cup(-1;\frac{3}{4})\)

Znajdując część wspólną z warunku z pierwszej części zadania: \( m\in (-\infty;-1)\cup (\frac{3}{5};+\infty)\) otrzymujemy rozwiązanie:

ksiązki Odpowiedź

\( m\in (-\infty;-3)\cup (\frac{3}{5};\frac{3}{4})\)


© medianauka.pl, 2023-01-14, ZAD-4643

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego x^2-x+m=0 jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a i równanie kwadratowe
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego x^2+dx+1=0 jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory Viete'a - zastosowanie w zadaniach
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \frac{17}{4} a suma odwrotności pierwiastków jest równa \frac{3}{2}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie wzorów Viete'a
Rozwiązać równanie kwadratowe x^2+mx-3=0 jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x1, x2 tego samego znaku, spełniające warunek |x1-x2|<3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2, spełniające warunek x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 3, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 4x2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 i x2, przy czym x1<x2, spełniające warunek (4x1-4x2-1)(4x1-4x2+1)<0.

Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.