Nierówność algebraiczna (wielomianowa)
Definicja
Każdą nierówność w postaci:
gdzie W(x) jest wielomianem niezerowym nazywamy nierównością algebraiczną lub nierównością n-tego stopnia lub nierównością wielomianową.
Przykład
Przykłady nierówności algebraicznych:
- jest to nierówność 3-go stopnia,
- jest to nierówność 5-go stopnia,
- jest to nierówność 2-go stopnia (kwadratowe),
- jest to nierówność 1-go stopnia,
Stosujemy następujący schemat rozwiązywania nierówności algebraicznych:
- szukamy pierwiastka a wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego,
- Sprowadzamy wielomian do postaci iloczynowej,
- Budujemy siatkę znaków,
- Rozwiązanie odczytujemy z siatki znaków.
Oto kilka przykładów rozwiązań nierówności algebraicznych.
Przykład
Rozwiązać nierówność:
Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-1, 0, 1, 2.
Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu.
W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
x | ![]() | -4 | (-4;-1) | -1 | (-1;0) | 0 | (0;1) | 1 | (1;2) | 2 | ![]() |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
x | - | - | - | - | - | 0 | + | + | + | + | + |
x+4 | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + | + | + |
x+1 | - | - | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + |
x-1 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | + | + | + |
x-2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | + |
W(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału , niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).
Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera.
Odpowiedź:
Przykład
Rozwiązać nierówność .
Czynnik jest zawsze dodatni, więc aby iloczyn dwóch czynników był ujemny jeden z nich musi być ujemny. Zatem
, czyli
.
Odpowiedź:
© medianauka.pl, 2009-08-18, ART-287
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Nierówność algebraiczna (wielomianowa)
Zadanie - Nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność:
a)
b) .
Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność .
Zadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną
Rozwiązać nierówność
Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność
Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiąż nierówność:
Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność:
Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania ma wartość ujemną?
Inne zagadnienia z tej lekcji

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.