Nierówność algebraiczna (wielomianowa)

Definicja

Każdą nierówność w postaci:

$W(x)>0\\W(x)<0\\W(x)\leq{0}\\W(x)\geq{0}$

gdzie W(x) jest wielomianem niezerowym nazywamy nierównością algebraiczną lub nierównością n-tego stopnia lub nierównością wielomianową.

Przykład

Przykłady nierówności algebraicznych:
$-5x^3+x-1\geq{0}$ - jest to nierówność 3-go stopnia,
$-x^5+5x^2-x-\sqrt{7}>0$ - jest to nierówność 5-go stopnia,
$5x^2+7\leq{0}$ - jest to nierówność 2-go stopnia (kwadratowe),
$x-1\geq{0}$ - jest to nierówność 1-go stopnia,

Stosujemy następujący schemat rozwiązywania nierówności algebraicznych:

szukamy pierwiastka a wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego,
Sprowadzamy wielomian do postaci iloczynowej,
Budujemy siatkę znaków,
Rozwiązanie odczytujemy z siatki znaków.

Oto kilka przykładów rozwiązań nierówności algebraicznych.

Przykład

Rozwiązać nierówność:

Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-1, 0, 1, 2.
Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu.
W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x	$(-\infty;-4)$	-4	(-4;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;2)	2	$(2;+\infty)$
x	-	-	-	-	-	0	+	+	+	+	+
x+4	-	0	+	+	+	+	+	+	+	+	+
x+1	-	-	-	0	+	+	+	+	+	+	+
x-1	-	-	-	-	-	-	-	0	+	+	+
x-2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	0	+
W(x)	-	0	+	0	-	0	+	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału $(-\infty;-4)$ , niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)=-1, więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera.

Odpowiedź: $x\in(-\infty;-4)\cup(-1;0)\cup(1;2)$

Przykład

Rozwiązać nierówność .
Czynnik jest zawsze dodatni, więc aby iloczyn dwóch czynników był ujemny jeden z nich musi być ujemny. Zatem , czyli .

Odpowiedź: $x\in(-\infty;2)$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Nierówność algebraiczna (wielomianowa)

Zadanie - Nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność:
a) $x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0$
b) $x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną
Rozwiązać nierówność $x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność $\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiąż nierówność: $\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność: $\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.