Nierówność wielomianowa

Każdą nierówność w postaci:

\(W(x)>0\)

\(W(x)<0\)

\(W(x)\leq{0}\)

\(W(x)\geq{0}\)

gdzie \(W(x)\) jest wielomianem niezerowym, nazywamy nierównością algebraiczną lub nierównością n-tego stopnia, lub nierównością wielomianową.

Przykłady

Przykłady nierówności algebraicznych:

\(-5x^3+x-1\geq{0}\) — jest to nierówność 3. stopnia.
\(-x^5+5x^2-x-\sqrt{7}>0\) — jest to nierówność 5. stopnia.
\(5x^2+7\leq{0}\) — jest to nierówność 2. stopnia (kwadratowe).
\(x-1\geq{0}\) — jest to nierówność 1. stopnia.

Stosujemy następujący schemat rozwiązywania nierówności algebraicznych:

Szukamy pierwiastka \(a\) wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego.
Sprowadzamy wielomian do postaci iloczynowej.
Budujemy siatkę znaków.
Rozwiązanie odczytujemy z siatki znaków.

Oto kilka przykładów rozwiązań nierówności algebraicznych.

Przykład 1

Rozwiązać nierówność \(x(x+4)(x+1)(x-1)(x-2)<0\).

Z lewej strony nierówności mamy już rozłożony na czynniki wielomian. Posiada on 5 pierwiastków: -4,-1, 0, 1, 2.

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu.
W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x	\((-\infty;-4)\)	-4	(-4;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;2)	2	\((2;+\infty)\)
x	-	-	-	-	-	0	+	+	+	+	+
x+4	-	0	+	+	+	+	+	+	+	+	+
x+1	-	-	-	0	+	+	+	+	+	+	+
x-1	-	-	-	-	-	-	-	0	+	+	+
x-2	-	-	-	-	-	-	-	-	-	0	+
W(x)	-	0	+	0	-	0	+	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-4)\), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x i otrzymujemy wynik -5, a więc ujemny. Znak „-” wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·(-1)=-1, więc znak „-” wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera.

Odpowiedź: \(x\in(-\infty;-4)\cup(-1;0)\cup(1;2)\).

Przykład 2

Rozwiązać nierówność \((x^4+1)(x-2)<0\).

Czynnik \(x^4+1\) jest zawsze dodatni, więc aby iloczyn dwóch czynników był ujemny, jeden z nich musi być ujemny. Zatem \(x-2<0\), czyli \(x<2\).

Odpowiedź: \(x\in(-\infty;2)\).

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),

b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \((x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność \(\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiąż nierówność: \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Nierówność algebraiczna

Równanie wielomianowe

Układ równań algebraicznych

Równanie wymierne