Strona główna » Matematyka » Nierówność algebraiczna (wielomianowa)

Zadanie - nierówność algebraiczna

Rozwiązać nierówność

Rozwiązanie zadania uproszczone

$-x^2+x-3 \\ \Delta=-11<0$

Wykres pomocniczy

Trójmian przyjmuje wyłącznie ujemne wartości.

x	(-∞;-3)	-3	(-3;4)	4	(4;+∞)
x-4	-	-	-	0	+
x+3	-	0	+	+	+
x⁴+1	+	+	+	+	+
x-x²-3	-	-	-	-	-
W(x)	-	0	+	0	-

$x \in (-3,4)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Z lewej strony nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Mamy tutaj dwa pierwiastki:-3 i 4. Czynnik x²+1 jest dodatni dla każdej wartości x, ponieważ jest on w parzystej potędze. Dodanie liczby 1 nie zmienia znaku wyrażenia.
Jeśli chodzi o trójmian x-x²-3, to zbadamy jego znak. Uporządkujmy jego wyrazy i zbadajmy wyróżnik trójmianu.

$x-x^2-3 \\ -x^2+x-3 \\ a=-1 \\ b=1 \\ c=-3 \\ \Delta=b^2-4ac=1-12=-11<0$

Trójmian nie posiada pierwiastków. Jakie przyjmuje wartości? Można je odczytać z wykresu. Ponieważ współczynnik a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół, trójmian jest ujemny, więc wykres nie przecina osi OX w żadnym punkcie. Spójrzmy na szkic wykresu.

Zatem trójmian przyjmuje wyłącznie ujemne wartości dla dowolnego argumentu x.

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x	(-∞;-3)	-3	(-3;4)	4	(4;+∞)
x-4	-	-	-	0	+
x+3	-	0	+	+	+
x⁴+1	+	+	+	+	+
x-x²-3	-	-	-	-	-
W(x)	-	0	+	0	-

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-3), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x-4 i otrzymujemy wynik -9, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak określić znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny $(-1)\cdot (-1)\cdot (+1)\cdot (-1)=-1$ , więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera.