Zadanie - nierówność algebraiczna

Rozwiązanie zadania uproszczone


Trójmian przyjmuje wyłącznie ujemne wartości.
x | (-∞;-3) | -3 | (-3;4) | 4 | (4;+∞) |
x-4 | - | - | - | 0 | + |
x+3 | - | 0 | + | + | + |
x4+1 | + | + | + | + | + |
x-x2-3 | - | - | - | - | - |
W(x) | - | 0 | + | 0 | - |

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Z lewej strony nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Mamy tutaj dwa pierwiastki:-3 i 4. Czynnik x2+1 jest dodatni dla każdej wartości x, ponieważ jest on w parzystej potędze. Dodanie liczby 1 nie zmienia znaku wyrażenia.
Jeśli chodzi o trójmian x-x2-3, to zbadamy jego znak. Uporządkujmy jego wyrazy i zbadajmy wyróżnik trójmianu.

Trójmian nie posiada pierwiastków. Jakie przyjmuje wartości? Można je odczytać z wykresu. Ponieważ współczynnik a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół, trójmian jest ujemny, więc wykres nie przecina osi OX w żadnym punkcie. Spójrzmy na szkic wykresu.

Zatem trójmian przyjmuje wyłącznie ujemne wartości dla dowolnego argumentu x.
Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
x | (-∞;-3) | -3 | (-3;4) | 4 | (4;+∞) |
x-4 | - | - | - | 0 | + |
x+3 | - | 0 | + | + | + |
x4+1 | + | + | + | + | + |
x-x2-3 | - | - | - | - | - |
W(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-3), niech to będzie -5 i podstawmy do czynnika wielomianu x-4 i otrzymujemy wynik -9, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Jak określić znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny

Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera.
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-24, ZAD-540
Zadania podobne

Rozwiązać nierówność:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż nierówność:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność:

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Liczba 2/5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=5x3−7x2−3x+p. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność W(x)>0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .
Pokaż rozwiązanie zadania