Strona główna » Matematyka » Nierówność algebraiczna (wielomianowa) • Równanie kwadratowe z parametrem • Wzory Viete'a

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

ma wartość ujemną?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 \\ \Delta \geq 0 \\ 4(m+1)^2-4(m^2+3m-18)\geq 0 \\ \cancel{4m^2}+8m+4-\cancel{4m^2}-12m+72\geq 0\\ -4m+76\geq 0\\ -4m\geq -76/:(-4) \\ m\leq 19$

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}< 0\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}< 0 \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}<0$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2(m+1)}{1}=2(m+1) \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2+3m-18}{1}=m^2+3m-18$
$x_1\cdot x_2\neq 0 \\ m^2+3m-18\neq 0 \\ \Delta=3^2-4\cdot 1\cdot (-18)=81 \\ m_1\neq \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-9}{2}=-6 \\ m_2\neq \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+9}{2}=3$

$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}<0 \\ \frac{2(m+1)}{m^2+3m-18}<0/:2 \\ \frac{(m+1)}{(m+6)(m-3)}<0$

m	(-∞;-6)	-6	(-6;-1)	-1	(-1;3)	3	(3;+∞)
m+6	-	0	+	+	+	+	+
m+1	-	-	-	0	+	+	+
m-3	-	-	-	-	-	0	+
W(m)	-	0	+	0	-	0	+

$\begin{cases} m\in (-\infty;-6)\cup (-1;3) \\ m\leq 19 \\ m\neq -6 \\ m\neq 3 \end{cases}$

$\underline{m\in (-\infty;-6)\cup (-1;3)}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym z parametrem. W pierwszej kolejności należy zbadać, kiedy (dla jakich wartości parametru m)równanie ma pierwiastki.

Równanie kwadratowe posiada pierwiastki, kiedy wyróżnik kwadratowy jest dodatni (posiada wówczas dwa różne pierwiastki) albo jest równy zero (równanie ma wówczas jeden podwójny pierwiastek). Mamy zatem warunek:

$x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 \\ \Delta \geq 0 \\ a=1\\ b=-2(m+1) \\ c=m^2+3m-18 \\ \Delta=b^2-4ac \\ 4(m+1)^2-4(m^2+3m-18)\geq 0 \\ 4(m^2+2m+1)-4m^2-12m+72\geq 0 \\ \cancel{4m^2}+8m+4-\cancel{4m^2}-12m+72\geq 0\\ -4m+76\geq 0\\ -4m\geq -76/:(-4) \\ m\leq 19$ tło

Zatem równanie kwadratowe posiada pierwiastki dla m mniejszego lub równego 19. Zgodnie z warunkami zadania mamy zbadać, dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków jest ujemna. Zapiszemy ten warunek:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}< 0\\ \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}< 0 \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}<0$

Wykorzystamy teraz wzory Viete'a

$x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Zgodnie z nimi mamy:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2(m+1)}{1}=2(m+1) \\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2+3m-18}{1}=m^2+3m-18$ tło

Ponieważ w naszej nierówności iloczyn pierwiastków występuje w mianowniku, musimy pamiętać, że:

$x_1\cdot x_2\neq 0 \\ m^2+3m-18\neq 0 \\ \Delta=3^2-4\cdot 1\cdot (-18)=81 \\ m_1\neq \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-9}{2}=-6 \\ m_2\neq \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+9}{2}=3$

Wracamy do naszej nierówności:

$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}<0 \\ \frac{2(m+1)}{m^2+3m-18}<0/:2 \\ \frac{(m+1)}{(m+6)(m-3)}<0$

W ostatnim kroku wykorzystaliśmy to, że wyznaczyliśmy krok wcześniej pierwiastki trójmianu x²+3m-18

Powyższa nierówność jest równoważna nierówności:

Dlaczego? Zauważmy, że badamy znak wyrażenia z lewej strony nierówności (badamy dla jakich wartości m ułamek jest dodatni). Kreska ułamkowa zastępuje dzielenie. Jeżeli dzielimy przez siebie pewne liczby, to otrzymamy wynik, którego znak będzie taki sam, jakbyśmy te same liczby pomnożyli przez siebie.

Po lewej stronie nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Bezpośrednio więc z postaci iloczynowej wielomianu odczytujemy pierwiastki wielomianu: -6, -1, 3. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

m	(-∞;-6)	-6	(-6;-1)	-1	(-1;3)	3	(3;+∞)
m+6	-	0	+	+	+	+	+
m+1	-	-	-	0	+	+	+
m-3	-	-	-	-	-	0	+
W(m)	-	0	+	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-6), niech to będzie -10 i podstawmy do czynnika wielomianu m-6 i otrzymujemy wynik -16, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny $(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=-1$ , więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(m) jest mniejszy od zera.