Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - nierówność algebraiczna

Rozwiązać nierówność: \frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\frac{x^3+9}{x^2-9}-x+1< 0 \\ \frac{x^3+9-x(x^2-9)+x^2-9}{x^2-9}< 0\\ \frac{\cancel{x^3}+\cancel{9}-\cancel{x^3}+9x+x^2-\cancel{9}}{x^2-9}< 0 \\ \frac{x^2+9x}{x^2-9}< 0 \\ \frac{x(x+9)}{(x-3)(x+3)}< 0
Nierówność \frac{x(x+9)}{(x-3)(x+3)}< 0 jest równoważna nierówności:

x(x+9)(x-3)(x+3)< 0

x(-∞;-9)-9(-9;-3)-3(-3;0)0(0;3)3(3;+∞)
x+9-0+++++++
x+3---0+++++
x-----0+++
x-3-------0+
W(x)+0-0+0-0+

x \in (-9;-3)\cup (0;3)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dokonujemy przekształceń (sprowadzamy liczby do wspólnego mianownika i rozkładamy licznik oraz mianownik na czynniki):

\frac{x^3+9}{x^2-9}-x+1< 0 \\ \frac{x^3+9}{x^2-9}-\frac{x(x^2-9)}{x^2-9}+\frac{x^2-9}{x^2-9}< 0\\ \frac{x^3+9-x(x^2-9)+x^2-9}{x^2-9}< 0\\ \frac{\cancel{x^3}+\cancel{9}-\cancel{x^3}+9x+x^2-\cancel{9}}{x^2-9}< 0 \\ \frac{x^2+9x}{x^2-9}< 0 \\ \frac{x(x+9)}{(x-3)(x+3)}< 0

Nierówność \frac{x(x+9)}{(x-3)(x+3)}< 0 jest równoważna nierówności:

x(x+9)(x-3)(x+3)< 0

Kreska ułamkowa zastępuje dzielenie. Jeżeli dzielimy przez siebie pewne liczby, to otrzymamy wynik, którego znak będzie taki sam, jakbyśmy te same liczby pomnożyli przez siebie.

Po lewej stronie nierówności mamy wielomian rozłożony na czynniki. Bezpośrednio więc z postaci iloczynowej wielomianu odczytujemy pierwiastki wielomianu: -9, -3, 0, 3. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x(-∞;-9)-9(-9;-3)-3(-3;0)0(0;3)3(3;+∞)
x+9-0+++++++
x+3---0+++++
x-----0+++
x-3-------0+
W(x)+0-0+0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-9), niech to będzie -10 i podstawmy do czynnika wielomianu x-9 i otrzymujemy wynik -19, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Szukamy znaku wielomianu. Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)=+1, więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest mniejszy od zera.

ksiązki Odpowiedź

x \in (-9;-3)\cup (0;3)

© medianauka.pl, 2010-01-26, ZAD-544





Zadania podobne

kulkaZadanie - Nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność:
a) x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0
b) x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność (x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną
Rozwiązać nierówność x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność \frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiąż nierówność: \frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.