Zadanie maturalne nr 8, matura 2018 (poziom rozszerzony)


Liczba 2/5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=5x3−7x2−3x+p. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność W(x)>0.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Ponieważ liczba 2/5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc W(2/5)=0:

\(5\cdot(\frac{2}{5})^2-7\cdot (\frac{2}{5})^2-3\cdot \frac{2}{5}+p=0\)

\(\frac{8}{25}-\frac{28}{25}-\frac{20}{25}+p=0\)

\(-\frac{50}{25}+p=0\)

\(p=2\)

Ponadto ponieważ \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3-7x^2-3x+2\), zatem wielomian ten dzieli się bez reszty przez \( x-\frac{2}{5}\). Wykonajmy to dzielenie:

\((5x^3-7x^2-3x+2):(x-\frac{2}{5})=5x^2-5x-5\)

(5x^3-7x^2-3x+2):(x-\frac{2}{5})=5x^2-5x-5\\ \underline{-5x^3+2x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -5x^2-3x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{5x^2-2x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ -5x+2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \underline{5x-2}\\  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0

Znajdźmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego \(5x^2-5x-5\).

\(\Delta=25+100=125=5\cdot5^2\)

\(\sqrt{\Delta}=5\sqrt{5}\)

\(x_1=\frac{5-5\sqrt{5}}{10}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

\(x_1=\frac{5+5\sqrt{5}}{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Rozwiążmy jeszcze nierówność \( W(x)>0\). Mamy wszystkie pierwiastki, rozwiązanie możemy odczytać z wykresu:

wykres

ksiązki Odpowiedź

Pierwiastki wielomianu W(x) to:

\(x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

\(x_2=\frac{2}{5}\)

\(x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Rozwiązaniem nierówności W(x)>0 jest przedział:

\(x\in (\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{2}{5})\cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty)\)


© medianauka.pl, 2023-01-14, ZAD-4642

Zadania podobne

kulkaZadanie - Nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność:
a) x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0
b) x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność (x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną
Rozwiązać nierówność x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność \frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiąż nierówność: \frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność: \frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0 ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.