Zadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną

Rozwiązanie zadania uproszczone






x | (-∞;-8) | -8 | (-8;-1) | -1 | (-1;2) | 2 | (2;+∞) |
x+8 | - | 0 | + | + | + | + | + |
(x+1)2 | + | + | + | 0 | + | + | + |
x-2 | - | - | - | - | - | 0 | + |
W(x) | + | 0 | - | 0 | - | 0 | + |

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Po lewej stronie nierówności mamy do czynienia z wielomianem - oznaczymy przez W(x). Pierwiastków tego wielomianu szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb:1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, 16, -16. Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

Znaleźliśmy dwa pierwiastki: -1 i 2. Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a. Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez x-2 oraz przez x+1. Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

Dzielimy więc wielomian W(x) przez powyższy trójmian kwadratowy.

Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:

Pozostało rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy, znajdujący się w ostatnim nawiasie:

Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
x | (-∞;-8) | -8 | (-8;-1) | -1 | (-1;2) | 2 | (2;+∞) |
x+8 | - | 0 | + | + | + | + | + |
(x+1)2 | + | + | + | 0 | + | + | + |
x-2 | - | - | - | - | - | 0 | + |
W(x) | + | 0 | - | 0 | - | 0 | + |
Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-8), niech to będzie -10 i podstawmy do czynnika wielomianu x-8 i otrzymujemy wynik -18, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)
Jak szukamy znaku wielomianu? Mnożymy przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny

Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera lub równy zero.
Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-25, ZAD-541
Zadania podobne

Rozwiązać nierówność:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż nierówność:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać nierówność:

Pokaż rozwiązanie zadania

Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania

Pokaż rozwiązanie zadania

Liczba 2/5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=5x3−7x2−3x+p. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność W(x)>0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + (m+1)x−m2+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1≠x2), spełniające warunek x31+x32> −7x1x2 .
Pokaż rozwiązanie zadania