Zadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność \(x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0\).
Rozwiązanie zadania
Po lewej stronie nierówności mamy do czynienia z wielomianem - oznaczymy przez \(W(x)\). Pierwiastków tego wielomianu szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb: \(1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, 16, -16\). Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.
\(W(1)=1+8-3-26-16=-36\neq 0\)
\(W(-1)=1-8-3+26-16=0\)
\(W(2)=16+8\cdot 8-3\cdot 4-26\cdot 2-16=16+64-12-52-16=0\)
Znaleźliśmy dwa pierwiastki: \(-1\) i \(2\). Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\). Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez \(x-2\) oraz przez \(x+1\). Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.
\((x+1)(x-2)=x^2+x-2x-2=x^2-x-2\)
Dzielimy więc wielomian \(W(x)\) przez powyższy trójmian kwadratowy.
Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:
\((x+1)(x-2)(x^2+9x+8)\geq 0\)
Pozostało rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy, znajdujący się w ostatnim nawiasie:
\(x^2+9x+8\)
\(a=1,\ b=9,\ c=8\)
\(\Delta=b^2-4ac=81-32=49\)
\(\sqrt{\Delta}=7\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9-7}{2}=-\frac{16}{2}=-8\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9+7}{2}=-\frac{2}{2}=-1\)
Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:
\((x+1)(x-2)(x+1)(x+8)\geq 0 \\ (x+1)^2(x-2)(x+8)\geq 0\)
Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:
\(x\)\((-\infty;-8)\)\(-8\)\((-8;-1)\)\(-1\)\((-1;2)\)\(2\)\((2;+\infty)\) \(x+8\)-0+++++ \((x+1)^2\)+++0+++ \(x-2\)-----0+ \(W(x)\)+0-0-0+Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;-8)\), niech to będzie \(-10\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(x-8\) i otrzymujemy wynik \(-18\), a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).
Jak szukamy znaku wielomianu? Mnożymy przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek (np. dla pierwszej kolumny \((-1)\cdot (+1)\cdot (-1)=+1\), więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny). Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(W(x)\) jest większy od zera lub równy zero.
Odpowiedź
\(x \in (-\infty;-8\rangle \cup \langle 2,+\infty)\cup\lbrace -1 \rbrace\)© medianauka.pl, 2010-01-25, ZAD-541
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),
b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).
Zadanie nr 6.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).