Nauka » Matematyka » Nierówność algebraiczna (wielomianowa)

Zadanie - rozwiązać nierówność algebraiczną

Rozwiązać nierówność $x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W(1)=1+8-3-26-16=-36\neq 0 \\ W(-1)=1-8-3+26-16=0 \\ W(2)=16+8\cdot 8-3\cdot 4-26\cdot 2-16=16+64-12-52-16=0$

$(x^4+8x^3-3x^2-26x-16):(x^2-x-2)=x^2+9x+8\\ \ \underline{x^4-x^3-2x^2} \\ \ \ \ \ \ \ 9x^3-x^2-26x-16 \\ \ \ \ \ \ \ \underline{9x^3-9x^2-18x} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x^2-8x-16 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{8x^2-8x-16}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$(x+1)(x-2)(x^2+9x+8)\geq 0$
$x^2+9x+8 \\ \Delta=81-32=49 \\ x_1=\frac{-9-7}{2}=-\frac{16}{2}=-8 \\ x_2=\frac{-9+7}{2}=-\frac{2}{2}=-1$
$(x+1)^2(x-2)(x+8)\geq 0$

x	(-∞;-8)	-8	(-8;-1)	-1	(-1;2)	2	(2;+∞)
x+8	-	0	+	+	+	+	+
(x+1)²	+	+	+	0	+	+	+
x-2	-	-	-	-	-	0	+
W(x)	+	0	-	0	-	0	+

$x \in (-\infty;-8\rangle \cup \langle 2,+\infty)\cup\lbrace -1 \rbrace$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Po lewej stronie nierówności mamy do czynienia z wielomianem - oznaczymy przez W(x). Pierwiastków tego wielomianu szukamy pośród podzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb:1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, 16, -16. Szukamy więc pierwiastka poprzez obliczenie wartości wielomianu dla kolejnych liczb.

$W(1)=1+8-3-26-16=-36\neq 0 \\ W(-1)=1-8-3+26-16=0 \\ W(2)=16+8\cdot 8-3\cdot 4-26\cdot 2-16=16+64-12-52-16=0$

Znaleźliśmy dwa pierwiastki: -1 i 2. Mamy teraz dwa wyjścia: szukać dalej przy skomplikowanych rachunkach, gdzie łatwo o pomyłkę lub skorzystać z twierdzenia Bezout, zgodnie z którym liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a. Mamy dwa pierwiastki, więc wielomian dzieli się przez x-2 oraz przez x+1. Dzieli się też przez iloczyn tych dwumianów.

Dzielimy więc wielomian W(x) przez powyższy trójmian kwadratowy.

Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:

$(x+1)(x-2)(x^2+9x+8)\geq 0$

Pozostało rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy, znajdujący się w ostatnim nawiasie:

$x^2+9x+8 \\ a=1 \\ b=9 \\ c=8 \\ \Delta=b^2-4ac=81-32=49 \\ \sqrt{\Delta}=7 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9-7}{2}=-\frac{16}{2}=-8 \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9+7}{2}=-\frac{2}{2}=-1$

Możemy więc napisać naszą nierówność w postaci:

$(x+1)(x-2)(x+1)(x+8)\geq 0 \\ (x+1)^2(x-2)(x+8)\geq 0$

Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

x	(-∞;-8)	-8	(-8;-1)	-1	(-1;2)	2	(2;+∞)
x+8	-	0	+	+	+	+	+
(x+1)²	+	+	+	0	+	+	+
x-2	-	-	-	-	-	0	+
W(x)	+	0	-	0	-	0	+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli.
(np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału (-∞;-8), niech to będzie -10 i podstawmy do czynnika wielomianu x-8 i otrzymujemy wynik -18, a więc ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki)

Jak szukamy znaku wielomianu? Mnożymy przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek.
(np. dla pierwszej kolumny $(-1)\cdot (+1)\cdot (-1)=+1$ , więc znak "+" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny)
Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian W(x) jest większy od zera lub równy zero.

Odpowiedź

$x \in (-\infty;-8\rangle \cup \langle 2,+\infty)\cup\lbrace -1 \rbrace$

Zadania podobne

Zadanie - Nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność:
a) $x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0$
b) $x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność $\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiąż nierówność: $\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność algebraiczna
Rozwiązać nierówność: $\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie algebraiczne i kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0

ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Liczba 2/5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=5x³−7x²−3x+p. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność W(x)>0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 9, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² + (m+1)x−m²+1=0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x₁ i x₂ (x₁≠x₂), spełniające warunek x³₁+x³₂> −7x₁x₂ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.