Logo Serwisu Media Nauka


Pierwiastek wielomianu, miejsce zerowe wielomianu

Definicja Definicja

Pierwiastek wielomianu (punkt zerowy, miejsce zerowe wielomianu) W(x) jest to taka liczba a, że W(a)=0.

Przykład Przykład

Sprawdźmy, czy liczba 2 i -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=2x^3-5x-6.
W tym celu obliczamy:

W(2)=2\cdot{2}^3-5\cdot{2}-6=16-10-6=0\\W(-2)=2\cdot(-2)^3-5\cdot(-2)-6=-16+10-6=-12\neq{0}

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), natomiast liczba -2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Twierdzenie Bezout

TwierdzenieTwierdzenie Bezout

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a

Teoria Dowód

Ponieważ w twierdzeniu Bezout występuje równoważność (wtedy i tylko wtedy), musimy udowodnić, że:

  • Jeżeli W(x) jest podzielny przez x-a, to a jest miejscem zerowym wielomianu.

    Podzielność wielomianu W(x) przez x-a oznacza, że istnieje pewien wielomian A(x) taki, że W(x)=A(x)(x-a) Sprawdźmy, czy a jest miejscem zerowym: W(a)=A(a)(a-a)=0
  • Jeżeli a jest miejscem zerowym wielomianu W(x), czyli W(a)=0, to wielomian W(x) jest podzielny przez x-a.

    Jeżeli podzielimy wielomian W(x) przez x-a, to otrzymamy W(x)=B(x)(x-a)+R, gdzie R jest pewną stałą (resztą z dzielenia). Mamy więc 0=W(x)=B(a)(a-a)+R, czyli R=0.

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli współczynniki wielomianu W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0, gdzie a_n\neq{0} są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe r, to r jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0.

Jest to bardzo przydatne twierdzenie przy rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych.

Przykład Przykład

Dany jest wielomian A(x)=2x^4-6x^2-8
Pierwiastków wielomianu należy szukać pośród dzielników wyrazu wolnego, czyli 1, -1, 2, -2, 4, -4. Sprawdźmy:
A(1)=2-6-8=-12\neq{0}\\A(-1)=2-6-8=-12\neq{0}\\A(2)=32-24-8=0\\A(-2)=32-24-8=0\\A(4)=512-96-8=408\neq{0}\\A(-4)=512-96-8=408\neq{0}
Znaleźliśmy w ten sposób dwa pierwiastki wielomianu: 2 i -2.


© Media Nauka, 2009-08-17, ART-281



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 167 - pierwiastek wielomianu
Sprawdzić, czy liczby 1, \ \sqrt{2} są pierwiastkami wielomianu W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2

zadanie - ikonka Zadanie 168 - pierwiastek wielomianu, zadanie z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m pierwiastkiem wielomianu W(x)=mx^3-(m+1)x^2+x-1+m jest liczba 1?



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy