Zadanie maturalne nr 1, matura 2020 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Z twierdzenia Bezout wynika, że liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\). I dalej: Jeżeli współczynniki wielomianu \(W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0\), gdzie \(a_n\neq{0}\) są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe \(r\), to \(r\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).

Szukamy pierwiastków tego wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego, a w zasadzie wśród liczb -1 i 1, gdyż takie mamy sugestie w odpowiedziach:

\(W(1)=1^{2019}-3\cdot 1^{2000}+2+6=1-3+2+6=6\neq 0\)

\(W(-1)=(-1)^{2019}-3\cdot (-1)^{2000}-2+6=-1-3-2+6=0\)

Nasz wielomian dzieli się zatem przez \((x+1)\) bez reszty.

Twierdzenie o reszcie: Reszta dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \((x−a)\) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie \(a\), tzn. \(W(a)\). Zatem reszta z dzielenia naszego wielomianu przez \((x-1)\) jest równa 6.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-03-07, ZAD-4769

Zadania podobne

Sprawdzić, czy liczby są pierwiastkami wielomianu

Wielomian określony wzorem W (x) = 2x³ + (m³ + 2) x² −11x − 2(2m +1) jest podzielny przez dwumian (x − 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x +1) daje resztę 6. Oblicz m oraz pierwiastki wielomianu W dla wyznaczonej wartości m.