Zadanie maturalne nr 1, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)
A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).
B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).
C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.
D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).
Rozwiązanie zadania
Z twierdzenia Bezout wynika, że liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\). I dalej: Jeżeli współczynniki wielomianu \(W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0\), gdzie \(a_n\neq{0}\) są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe \(r\), to \(r\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
Szukamy pierwiastków tego wielomianu wśród dzielników wyrazu wolnego, a w zasadzie wśród liczb -1 i 1, gdyż takie mamy sugestie w odpowiedziach:
\(W(1)=1^{2019}-3\cdot 1^{2000}+2+6=1-3+2+6=6\neq 0\)
\(W(-1)=(-1)^{2019}-3\cdot (-1)^{2000}-2+6=-1-3-2+6=0\)
Nasz wielomian dzieli się zatem przez \((x+1)\) bez reszty.
Twierdzenie o reszcie: Reszta dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \((x−a)\) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie \(a\), tzn. \(W(a)\). Zatem reszta z dzielenia naszego wielomianu przez \((x-1)\) jest równa 6.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-07, ZAD-4769
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3-(m+1)x^2+x-1+m\) jest liczba 1?
Zadanie nr 3 — maturalne.
Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).