Zadanie maturalne nr 2, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z twierdzenia o reszcie wielomianu:
Reszta dzielenia wielomianu W(x) przez (x−a) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. W(a).
Zatem ponieważ reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian (x+2) jest równa 20, to W(-2)=20.
Ponadto wiedząc, że 3 jest pierwiastkiem wielomianu, to możemy zapisać, że W(3)=0.
Mamy więc układ równań:
\(\begin{cases} W(3)=0 \\ W(-2)=20 \end{cases}\)
Podstawiamy liczbę 3 i -2 za x do naszego wielomianu:
\(\begin{cases} 2\cdot 3^3+a\cdot 3^2-13\cdot 3+b=0 \\ 2\cdot (-2)^3+a\cdot (-2)^2-13\cdot (-2)+b=20 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 9a+b+15=0 \\ 4a+b-10=0 \end{cases}\)
Odejmujemy stronami oba równania:
\( 9a-4a+b-b_15-(-10)=0 \)
\(5a+25=0\)
\( 9a-4a+b-b_15-(-10)=0 \)
\(a=-5\)
Wyznaczylismy wartośc parametru a. Wystarczy tę wartośc wpisać do jednego z powyższych równań (przed ich odjęciem) i wyznaczyć wartość parametru b.
\( -20+b-10=0 \)
\(b=30\)
Zapiszmy teraz nasz wielomian W(x), zastępując w nim parametry a i b wyznaczonymi wartościami:
\( W(x)=2x^3+ax^2-13x+b \)
\( W(x)=2x^3-5x^2-13x+30 \)
Z treści zadania wynika, że należy znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu. Można skorzystać z twierdzenia Bezout lub skorzystać z wiedzy, że liczba 3 jest pierwiastkliem naszego wielomianu. Dzieląć W(x) przez (x-3) otrzymamy trójmian kwadratowy, którego łatwiej będzie znaleźć pierwiastki. Wykonujemy dzielnie
\( (2x^3-5x^2-13x+30):(x-3)=2x^2+x-10 \)
\( -2x^3+6x \)
\( \text{----------------}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-13x \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+3x \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{----------------}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -10x+30 \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 10x-30 \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{----------------}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \)
Zatem:
\( W(x)=(x-3)(2x^2+x-10) \)
Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\( \Delta=1-4\cdot 2\cdot(-10)=81 \)
\( \sqrt{\Delta}=9 \)
\( x_1=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2} \)
\( x_2=\frac{-1+9}{4}=2 \)
Odpowiedź
\( a=-5, b=30 \)
\( x_1=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2} \)
\( x_2=\frac{-1+9}{4}=2 \)
© medianauka.pl, 2022-12-28, ZAD-4568
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3-(m+1)x^2+x-1+m\) jest liczba 1?
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)
A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).
B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).
C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.
D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).