Nauka » Matematyka » Pierwiastek wielomianu Dzielenie wielomianów

Zadanie maturalne nr 2, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Dany jest wielomian W(x)=2x³+ax²−13x+b. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu W (x).

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z twierdzenia o reszcie wielomianu:

Reszta dzielenia wielomianu W(x) przez (x−a) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. W(a).

Zatem ponieważ reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian (x+2) jest równa 20, to W(-2)=20.

Ponadto wiedząc, że 3 jest pierwiastkiem wielomianu, to możemy zapisać, że W(3)=0.

Mamy więc układ równań:

$\begin{cases} W(3)=0 \\ W(-2)=20 \end{cases}$

Podstawiamy liczbę 3 i -2 za x do naszego wielomianu:

$\begin{cases} 2\cdot 3^3+a\cdot 3^2-13\cdot 3+b=0 \\ 2\cdot (-2)^3+a\cdot (-2)^2-13\cdot (-2)+b=20 \end{cases}$

$\begin{cases} 9a+b+15=0 \\ 4a+b-10=0 \end{cases}$

Odejmujemy stronami oba równania:

$ 9a-4a+b-b_15-(-10)=0 $

$5a+25=0$

$ 9a-4a+b-b_15-(-10)=0 $

$a=-5$

Wyznaczylismy wartośc parametru a. Wystarczy tę wartośc wpisać do jednego z powyższych równań (przed ich odjęciem) i wyznaczyć wartość parametru b.

$ -20+b-10=0 $

$b=30$

Zapiszmy teraz nasz wielomian W(x), zastępując w nim parametry a i b wyznaczonymi wartościami:

$ W(x)=2x^3+ax^2-13x+b $

$ W(x)=2x^3-5x^2-13x+30 $

Z treści zadania wynika, że należy znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu. Można skorzystać z twierdzenia Bezout lub skorzystać z wiedzy, że liczba 3 jest pierwiastkliem naszego wielomianu. Dzieląć W(x) przez (x-3) otrzymamy trójmian kwadratowy, którego łatwiej będzie znaleźć pierwiastki. Wykonujemy dzielnie

$ (2x^3-5x^2-13x+30):(x-3)=2x^2+x-10 $

$ -2x^3+6x $

$ \text{----------------}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-13x $

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+3x $

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{----------------}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -10x+30 $

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 10x-30 $

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{----------------}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 $

Zatem:

$ W(x)=(x-3)(2x^2+x-10) $

Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

$ \Delta=1-4\cdot 2\cdot(-10)=81 $

$ \sqrt{\Delta}=9 $

$ x_1=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2} $

$ x_2=\frac{-1+9}{4}=2 $

Odpowiedź

$ a=-5, b=30 $

$ x_1=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2} $

$ x_2=\frac{-1+9}{4}=2 $

Zadania podobne

Zadanie - dzielenie wielomianów
Dla jakiej wartości parametru a wielomian

dzieli się bez reszty przez x-1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie:
a)

c) $(x^{10}-1):(x^2+1)$
d) $(8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})$
e) $(x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wielomian

jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego:

A. 4
B. -2
C. 2
D. -4

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.