Zadanie maturalne nr 2, matura 2017 (poziom rozszerzony)


Dany jest wielomian W(x)=2x3+ax2−13x+b. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu W (x).

ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z twierdzenia o reszcie wielomianu:

Reszta dzielenia wielomianu W(x) przez (x−a) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. W(a).

Zatem ponieważ reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian (x+2) jest równa 20, to W(-2)=20.

Ponadto wiedząc, że 3 jest pierwiastkiem wielomianu, to możemy zapisać, że W(3)=0.

Mamy więc układ równań:

\(\begin{cases} W(3)=0 \\ W(-2)=20 \end{cases}\)

Podstawiamy liczbę 3 i -2 za x do naszego wielomianu:

\(\begin{cases} 2\cdot 3^3+a\cdot 3^2-13\cdot 3+b=0 \\ 2\cdot (-2)^3+a\cdot (-2)^2-13\cdot (-2)+b=20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 9a+b+15=0 \\ 4a+b-10=0 \end{cases}\)

Odejmujemy stronami oba równania:

\( 9a-4a+b-b_15-(-10)=0 \)

\(5a+25=0\)

\( 9a-4a+b-b_15-(-10)=0 \)

\(a=-5\)

Wyznaczylismy wartośc parametru a. Wystarczy tę wartośc wpisać do jednego z powyższych równań (przed ich odjęciem) i wyznaczyć wartość parametru b.

\( -20+b-10=0 \)

\(b=30\)

Zapiszmy teraz nasz wielomian W(x), zastępując w nim parametry a i b wyznaczonymi wartościami:

\( W(x)=2x^3+ax^2-13x+b \)

\( W(x)=2x^3-5x^2-13x+30 \)

Z treści zadania wynika, że należy znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu. Można skorzystać z twierdzenia Bezout lub skorzystać z wiedzy, że liczba 3 jest pierwiastkliem naszego wielomianu. Dzieląć W(x) przez (x-3) otrzymamy trójmian kwadratowy, którego łatwiej będzie znaleźć pierwiastki. Wykonujemy dzielnie

\( (2x^3-5x^2-13x+30):(x-3)=2x^2+x-10 \)

\( -2x^3+6x \)

\( \text{----------------}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-13x \)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+3x \)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{----------------}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -10x+30 \)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 10x-30 \)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{----------------}\)

\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \)

Zatem:

\( W(x)=(x-3)(2x^2+x-10) \)

Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:

\( \Delta=1-4\cdot 2\cdot(-10)=81 \)

\( \sqrt{\Delta}=9 \)

\( x_1=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2} \)

\( x_2=\frac{-1+9}{4}=2 \)

ksiązki Odpowiedź

\( a=-5, b=30 \)

\( x_1=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2} \)

\( x_2=\frac{-1+9}{4}=2 \)


© medianauka.pl, 2022-12-28, ZAD-4568

Zadania podobne

kulkaZadanie - dzielenie wielomianów
Dla jakiej wartości parametru a wielomian W(x)=x^3+2x^2-x+a dzieli się bez reszty przez x-1?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie:
a) (x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)
b) (8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)
c) (x^{10}-1):(x^2+1)
d) (8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})
e) (x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wielomian w(x)=6x^3+3x^2-5x+p jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego:

A. 4
B. -2
C. 2
D. -4


Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.