Strona główna » Matematyka » Dzielenie wielomianów

Zadanie - dzielenie wielomianów

Wykonać dzielenie:
a)

c) $(x^{10}-1):(x^2+1)$
d) $(8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})$
e) $(x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Wykonujemy dzielenie metodą stosowaną w kursie (przykład - animacja). W kolejnych krokach odejmujemy od siebie wielomiany pod kreską.

$(x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)=x^2+1\\ \ \underline{x^5-x^3+x^2} \\ \ \ \ \ \ x^3-x+1\\ \ \ \ \ \ \underline{x^3-x+1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Uwaga: Dla przykładu to samo dzielenie wykonamy inną metodą:
Kolejne wielomiany pod kreską będziemy do siebie dodawać, ale mnożenie kolejnego wyrazu wyniku przez każdy wyraz dzielnika wykonujemy ze znakiem "minus".

$\ (x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)=x^2+1\\ \underline{-x^5+x^3-x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ x^3-x+1\\ \ \ \ \ \ \ \underline{-x^3+x-1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Podpunkt b)

Wykonujemy, podobnie jak wyżej, dzielenie metodą stosowaną w kursie:

$(8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)=8x^2-10x-3\\ \underline{8x^4+8x^3+8x^2} \\ \ \ \ \ \ -10x^3-13x^2-13x-3\\ \ \ \ \ \ \underline{-10x^3-10x^2-10x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3x^2-3x-3 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-3x^2-3x-3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$(8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)=8x^2-10x-3\\ \underline{-8x^4-8x^3-8x^2} \\ \ \ \ \ \ \ -10x^3-13x^2-13x-3\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{10x^3+10x^2+10x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3x^2-3x-3 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{3x^2+3x+3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Podpunkt c)

Wykonujemy dzielenie:

$(x^{10}-1):(x^2+1)=x^8-x^6+x^4-x^2+1\\ \underline{x^{10}+x^8} \\ \ \ \ \ \ -x^8-1\\ \ \ \ \ \ \underline{-x^8-x^6}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^6-1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x^6+x^4}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^4-1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x^4-x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{x^2+1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=-2$

Ponieważ reszta z dzielenia nie jest wielomianem zerowym resztę zapisujemy w następujący sposób: -2/(x²+1)

Podpunkt d)

Wykonujemy dzielenie metodą stosowaną w kursie (przykład - animacja):

$(8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})=8x^2+14x-16\\ \underline{8x^3+4x^2} \\ \ \ \ \ \ \ \ 14x^2-9x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \underline{14x^2+7x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -16x-8 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-16x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Podpunkt e)

Wykonujemy dzielenie:

…

$(x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})=x^3-\sqrt{2}x^2-4x+4\sqrt{2}\\ \ \underline{x^4-\sqrt{2}x^3} \\ \ \ \ \ \ \ \ -\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8\\ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-\sqrt{2}x^3+2x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4x^2+8\sqrt{2}x-8 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-4x^2+4\sqrt{2}x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4\sqrt{2}x-8 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{4\sqrt{2}x-8}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Odpowiedź

c) $(x^{10}-1):(x^2+1)=x^8-x^6+x^4-x^2+1-\frac{2}{x^2+1}$
d) $(8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})=8x^2+14x-16$
e) $(x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})=x^3-\sqrt{2}x^2-4x+4\sqrt{2}$