Dzielenie wielomianów

Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Iloraz wielomianów dość często pojawia się w kursie matematyki przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych. Dzielnik wielomianu nie może być wielomianem zerowym, a stopień wielomianu będącym ilorazem jest co najwyżej równy stopniowi niezerowej dzielnej.

Przykłady

Dzielenie pisemne wielomianów wymaga nieco wprawy. Warto więc rozwiązać kilka przykładów.

Animacja

Poniższa animacja ilustruje zasadę pisemnego dzielenia wielomianów.

Najczęściej wykonuje się dzielenie pisemne wielomianów przez dwumian.

A oto inny przykład jak dzielić wielomiany:

Przykład

$\\begin{array}{lll} (x^4 - 3x^3 + 3x^2 -4x + 3)&:&(x-1)=x^3-2x^2+x-3\\\\ \\ \\underline{x^4-x^3}& & \\\\ \\ \\qquad -2x^3+3x^2-4x+3 & & \\\\\n\\ \\ \\ \\ \\underline{-2x^3+2x^2} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad x^2-4x+3 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{x^2-x} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+3 & & \\\\\n\\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\ \\underline{-3x+3} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\quad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad 0 & & \\end{array}$

Reszta z dzielenia wielomianu

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu

Jeżeli W(x), P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany Q(x), R(x), że
W(x)=Q(x)P(x)+R(x)
Wielomian R(x) może być wielomianem zerowym albo jego stopień jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x).

Przykład

Poniższy przykład ilustruje dzielenie wielomianów z resztą:

$\\begin{array}{lll} (x^4-3x^3+x^2-1)&:&(x^2-1)=x^2-3x+2 \\\\ \\ \\underline{x^4-x^2} & & \\\\ \\ \\qquad -3x^3+2x^2-1 & & \\\\ \\ \\ \\ \\ \\underline{-3x^3+3x} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad 2x^2-3x-1 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{2x^2-2} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+1 & & \\\\ \\end{array}$

Otrzymaliśmy resztę z dzielenia i możemy zapisać powyższe działanie zgodnie z przytoczonym twierdzeniem:

gdzie jest resztą z dzielenia.
Jednak najczęściej wynik zapisujemy w następujący sposób:

$(x^4-3x^3+x^2-1):(x^2-1)=x^2-3x+2+\\frac{-3x+1}{x^2-1}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Dzielenie wielomianów

Zadanie - dzielenie wielomianów
Dla jakiej wartości parametru a wielomian dzieli się bez reszty przez x-1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie:
a)
b)
c) $(x^{10}-1):(x^2+1)$
d) $(8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})$
e) $(x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wielomian jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego:

A. 4
B. -2
C. 2
D. -4

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Na wielomianach możemy wykonywać dodawanie. Wielomian będący sumą redukujemy, dodając do siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy.

Mnożenie wielomianów