Dzielenie wielomianów

Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych. Dzielnik wielomianu nie może być wielomianem zerowym, a stopień wielomianu będącym ilorazem jest co najwyżej równy stopniowi niezerowej dzielnej.

Animacja

Poniższa animacja ilustruje zasadę pisemnego dzielenia wielomianów.

A oto inny przykład

Przykład

$\\begin{array}{lll} (x^4 - 3x^3 + 3x^2 -4x + 3)&:&(x-1)=x^3-2x^2+x-3\\\\ \\ \\underline{x^4-x^3}& & \\\\ \\ \\qquad -2x^3+3x^2-4x+3 & & \\\\\n\\ \\ \\ \\ \\underline{-2x^3+2x^2} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad x^2-4x+3 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{x^2-x} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+3 & & \\\\\n\\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\ \\underline{-3x+3} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\quad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad 0 & & \\end{array}$

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu

Jeżeli W(x), P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany Q(x), R(x), że
W(x)=Q(x)P(x)+R(x)
Wielomian R(x) może być wielomianem zerowym albo jego stopień jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x).

Przykład

Poniższy przykład ilustruje dzielenie wielomianów z resztą:

$\\begin{array}{lll} (x^4-3x^3+x^2-1)&:&(x^2-1)=x^2-3x+2 \\\\ \\ \\underline{x^4-x^2} & & \\\\ \\ \\qquad -3x^3+2x^2-1 & & \\\\ \\ \\ \\ \\ \\underline{-3x^3+3x} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad 2x^2-3x-1 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{2x^2-2} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+1 & & \\\\ \\end{array}$