Logo Media Nauka

Dzielenie wielomianów

Teoria Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Iloraz wielomianów dość często pojawia się w kursie matematyki przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych. Dzielnik wielomianu nie może być wielomianem zerowym, a stopień wielomianu będącym ilorazem jest co najwyżej równy stopniowi niezerowej dzielnej.

Przykłady

Dzielenie pisemne wielomianów wymaga nieco wprawy. Warto więc rozwiązać kilka przykładów.

Animacja

Animacja


Poniższa animacja ilustruje zasadę pisemnego dzielenia wielomianów.



Najczęściej wykonuje się dzielenie pisemne wielomianów przez dwumian.

A oto inny przykład jak dzielić wielomiany:

Przykład Przykład

\\begin{array}{lll} (x^4 - 3x^3 + 3x^2 -4x + 3)&:&(x-1)=x^3-2x^2+x-3\\\\ \\ \\underline{x^4-x^3}& & \\\\ \\ \\qquad -2x^3+3x^2-4x+3 & & \\\\\n\\ \\ \\ \\ \\underline{-2x^3+2x^2} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad x^2-4x+3 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{x^2-x} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+3 & & \\\\\n\\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\ \\underline{-3x+3} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\quad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad 0 & & \\end{array}

Reszta z dzielenia wielomianu

twierdzenie Twierdzenie o rozkładzie wielomianu

Jeżeli W(x), P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany Q(x), R(x), że
W(x)=Q(x)P(x)+R(x)
Wielomian R(x) może być wielomianem zerowym albo jego stopień jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x).

Przykład Przykład

Poniższy przykład ilustruje dzielenie wielomianów z resztą:

\\begin{array}{lll} (x^4-3x^3+x^2-1)&:&(x^2-1)=x^2-3x+2 \\\\ \\ \\underline{x^4-x^2} & &  \\\\ \\ \\qquad -3x^3+2x^2-1 & & \\\\ \\ \\ \\ \\  \\underline{-3x^3+3x} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad 2x^2-3x-1 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{2x^2-2}  & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+1 & & \\\\ \\end{array}

Otrzymaliśmy resztę z dzielenia i możemy zapisać powyższe działanie zgodnie z przytoczonym twierdzeniem:

(x^4-3x^3+x^2-1)=(x^2-3x+2)(x^2-1)+(-3x+1)

gdzie x^2-1 jest resztą z dzielenia.
Jednak najczęściej wynik zapisujemy w następujący sposób:

(x^4-3x^3+x^2-1):(x^2-1)=x^2-3x+2+\\frac{-3x+1}{x^2-1}


© medianauka.pl, 2009-08-18, ART-284





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Dzielenie wielomianów

zadanie-ikonka Zadanie - dzielenie wielomianów
Dla jakiej wartości parametru a wielomian W(x)=x^3+2x^2-x+a dzieli się bez reszty przez x-1?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - dzielenie wielomianów
Wykonać dzielenie:
a) (x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)
b) (8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)
c) (x^{10}-1):(x^2+1)
d) (8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})
e) (x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 2, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wielomian w(x)=6x^3+3x^2-5x+p jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego:

A. 4
B. -2
C. 2
D. -4

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Dodawanie i odejmowanie wielomianówDodawanie i odejmowanie wielomianów
Na wielomianach możemy wykonywać dodawanie. Wielomian będący sumą redukujemy, dodając do siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy.
Mnożenie wielomianówMnożenie wielomianów
Mnożenie wielomianów, własności iloczynu wielomianów
Rozkład wielomianu na czynnikiRozkład wielomianu na czynniki
Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.



© Media Nauka 2008-2018 r.