Dzielenie wielomianów

Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Iloraz wielomianów dość często pojawia się w kursie matematyki przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych. Dzielnik wielomianu nie może być wielomianem zerowym, a stopień wielomianu będącym ilorazem jest co najwyżej równy stopniowi niezerowej dzielnej.

Przykłady

Dzielenie pisemne wielomianów wymaga nieco wprawy. Warto więc rozwiązać kilka przykładów. Najczęściej wykonuje się dzielenie pisemne wielomianów przez dwumian.

$\\begin{array}{lll} (x^4 - 3x^3 + 3x^2 -4x + 3)&:&(x-1)=x^3-2x^2+x-3\\\\ \\ \\underline{x^4-x^3}& & \\\\ \\ \\qquad -2x^3+3x^2-4x+3 & & \\\\\n\\ \\ \\ \\ \\underline{-2x^3+2x^2} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad x^2-4x+3 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{x^2-x} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+3 & & \\\\\n\\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\ \\underline{-3x+3} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\quad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad 0 & & \\end{array}$

Reszta z dzielenia wielomianu

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu

Jeżeli $W(x), P(x)$ są wielomianami i $P(x)$ nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany $Q(x), R(x)$, że $W(x)=Q(x)P(x)+R(x)$.

Wielomian $R(x)$ może być wielomianem zerowym albo jego stopień jest mniejszy od stopnia wielomianu $P(x)$.

Przykłady

Poniższy przykład ilustruje dzielenie wielomianów z resztą:

$\\begin{array}{lll} (x^4-3x^3+x^2-1)&:&(x^2-1)=x^2-3x+2 \\\\ \\ \\underline{x^4-x^2} & & \\\\ \\ \\qquad -3x^3+2x^2-1 & & \\\\ \\ \\ \\ \\ \\underline{-3x^3+3x} & &\\\\ \\qquad \\qquad \\qquad 2x^2-3x-1 & & \\\\ \\qquad \\qquad \\quad \\ \\underline{2x^2-2} & & \\\\ \\ \\ \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad -3x+1 & & \\\\ \\end{array}$

Otrzymaliśmy resztę z dzielenia i możemy zapisać powyższe działanie zgodnie z przytoczonym twierdzeniem:

$(x^4-3x^3+x^2-1)=(x^2-3x+2)(x^2-1)+(-3x+1)$

gdzie $(-3x+1)$ jest resztą z dzielenia.
Jednak najczęściej wynik zapisujemy w następujący sposób:

$(x^4-3x^3+x^2-1):(x^2-1)=x^2-3x+2+\frac{-3x+1}{x^2-1}$

Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian

Reszta dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x−a)$ jest równa wartości tego wielomianu w punkcie $a$, tzn. $W(a)$.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru a wielomian $W(x)=x^3+2x^2-x+a$ dzieli się bez reszty przez $x-1$?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wykonać dzielenie wielomianów:

a) $(x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)$

b) $(8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)$

c) $(x^{10}-1):(x^2+1)$

d) $(8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})$

e) $(x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Wielomian $W(x)=6x^3+3x^2-5x+p$ jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego:

A. 4

B. -2

C. 2

D. -4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Dany jest wielomian $W(x)=2x^3+ax^2−13x+b$. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki $a$ i $b$ oraz pozostałe pierwiastki wielomianu $W(x)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.