Logo Media Nauka

Facebook

Rozkład wielomianu na czynniki

Teoria Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

Stosujemy kilka metod rozkładu wielomianu na czynniki:

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Teoria Korzystając z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, w przypadku gdy w każdym wyrazie wielomianu występuje ten sam jednomian jako czynnik, możemy go wyłączyć przed nawias.

Przykład Przykład

x^4-x^3=x^3(x-1)\\2x^5-10=2(x^5-5)\\2x^4-4x^2+6x=2x(x^2-2x+3)

Grupowanie wyrazów

Teoria Ta metoda wymaga wprawy rachunkowej. Polega na kilkukrotnym korzystaniu z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania według schematu:

ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

Przykład Przykład

x^5+x^3+x^2+1=x^3(x^2+1)+(x^2+1)=(x^2+1)(x^3+1)

Przykład Przykład

Prześledźmy jeszcze inny przykład na poniższej animacji

Animacja

Animacja




Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Teoria To zastosowanie wydaje się oczywiste. Oto kilka przykładów:

Przykład Przykład

4x^2-4x+1=(2x)^2-2\cdot{2x+1}=(2x-1)^2\\x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\\x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)

Stosowanie twierdzenia Bezout

Teoria Przeanalizujmy ten przypadek na przykładzie.

Przykład Przykład

Rozłożymy na czynniki wielomian W(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród dzielników wyrazu wolnego 12, czyli pośród liczb 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 i -4. wielomian jest stopnia czwartego, szukamy więc maksymalnie czterech pierwiastków.

W(1)=1+2-7-8+12=0\\W(-1)=1-2-7+8+12=12\neq{0}\\W(2)=16+16-28-16+12=0\\W(-2)=16-16-28+16+12=0\\W(3)=81+54-63-24+12=60\neq{0}\\W(-3)=81-54-63+24+12=0

Zatem
W(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12=(x-1)(x-2)(x+2)(x+3)


© medianauka.pl, 2009-08-18, ART-285


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Rozkład wielomianu na czynniki

zadanie-ikonka Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^6-50x^4
b) W(x)=x^8-1
c) W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2
d) W(x)=x^3-11x^2+35x-25
na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4
b) W(x)=-x^3+x^2+x-1
na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4 na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Dodawanie i odejmowanie wielomianówDodawanie i odejmowanie wielomianów
Na wielomianach możemy wykonywać dodawanie. Wielomian będący sumą redukujemy, dodając do siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy.
Mnożenie wielomianówMnożenie wielomianów
Mnożenie wielomianów, własności iloczynu wielomianów
Dzielenie wielomianówDzielenie wielomianów
Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych.
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.








Polecamy w naszym sklepie

Kalkulatory maukowe
Rodzinna matematyka
Kubek matematyka pi
kolorowe skarpetki matematyka
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.