Rozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

Stosujemy kilka metod rozkładu wielomianu na czynniki:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
grupowanie wyrazów,
stosowanie wzorów skróconego mnożenia,
stosowanie twierdzenia Bezout dla wielomianów stopnia wyższego niż 2 lub w przypadku wielomianu drugiego stopnia zastosowanie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego.

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Korzystając z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, w przypadku gdy w każdym wyrazie wielomianu występuje ten sam jednomian jako czynnik, możemy go wyłączyć przed nawias.

Przykład

$x^4-x^3=x^3(x-1)\\2x^5-10=2(x^5-5)\\2x^4-4x^2+6x=2x(x^2-2x+3)$

Grupowanie wyrazów

Ta metoda wymaga wprawy rachunkowej. Polega na kilkukrotnym korzystaniu z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania według schematu:

Przykład

Prześledźmy jeszcze inny przykład na poniższej animacji

Animacja

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

To zastosowanie wydaje się oczywiste. Oto kilka przykładów:

Przykład

$4x^2-4x+1=(2x)^2-2\cdot{2x+1}=(2x-1)^2\\x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\\x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$

Stosowanie twierdzenia Bezout

Przeanalizujmy ten przypadek na przykładzie.

Przykład

Rozłożymy na czynniki wielomian

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród dzielników wyrazu wolnego 12, czyli pośród liczb 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 i -4. wielomian jest stopnia czwartego, szukamy więc maksymalnie czterech pierwiastków.

$W(1)=1+2-7-8+12=0\\W(-1)=1-2-7+8+12=12\neq{0}\\W(2)=16+16-28-16+12=0\\W(-2)=16-16-28+16+12=0\\W(3)=81+54-63-24+12=60\neq{0}\\W(-3)=81-54-63+24+12=0$

Zatem

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozłożyć wielomian:
a)

c) $W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2$
d)

na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozłożyć wielomian:
a)

na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozłożyć wielomian

na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu

jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Na wielomianach możemy wykonywać dodawanie. Wielomian będący sumą redukujemy, dodając do siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy.

Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów, własności iloczynu wielomianów

Dzielenie wielomianów

Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.