Logo Serwisu Media Nauka

Rozkład wielomianu na czynniki

Teoria Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

Stosujemy kilka metod rozkładu wielomianu na czynniki:

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Teoria Korzystając z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, w przypadku gdy w każdym wyrazie wielomianu występuje ten sam jednomian jako czynnik, możemy go wyłączyć przed nawias.

Przykład Przykład

x^4-x^3=x^3(x-1)\\2x^5-10=2(x^5-5)\\2x^4-4x^2+6x=2x(x^2-2x+3)

Grupowanie wyrazów

Teoria Ta metoda wymaga wprawy rachunkowej. Polega na kilkukrotnym korzystaniu z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania według schematu:

ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

Przykład Przykład

x^5+x^3+x^2+1=x^3(x^2+1)+(x^2+1)=(x^2+1)(x^3+1)

Przykład Przykład

Prześledźmy jeszcze inny przykład na poniższej animacji

Animacja

Animacja




Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Teoria To zastosowanie wydaje się oczywiste. Oto kilka przykładów:

Przykład Przykład

4x^2-4x+1=(2x)^2-2\cdot{2x+1}=(2x-1)^2\\x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\\x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)

Stosowanie twierdzenia Bezout

Teoria Przeanalizujmy ten przypadek na przykładzie.

Przykład Przykład

Rozłożymy na czynniki wielomian W(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród dzielników wyrazu wolnego 12, czyli pośród liczb 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 i -4. wielomian jest stopnia czwartego, szukamy więc maksymalnie czterech pierwiastków.

W(1)=1+2-7-8+12=0\\W(-1)=1-2-7+8+12=12\neq{0}\\W(2)=16+16-28-16+12=0\\W(-2)=16-16-28+16+12=0\\W(3)=81+54-63-24+12=60\neq{0}\\W(-3)=81-54-63+24+12=0

Zatem
W(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12=(x-1)(x-2)(x+2)(x+3)


© medianauka.pl, 2009-08-18, ART-285





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^6-50x^4
b) W(x)=x^8-1
c) W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2
d) W(x)=x^3-11x^2+35x-25
na czynniki.

zadanie-ikonka Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4
b) W(x)=-x^3+x^2+x-1
na czynniki metodą grupowania wyrazów.

zadanie-ikonka Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4 na czynniki.

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.