Rozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

Stosujemy kilka metod rozkładu wielomianu na czynniki:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
grupowanie wyrazów,
stosowanie wzorów skróconego mnożenia,
stosowanie twierdzenia Bezout dla wielomianów stopnia wyższego niż 2 lub w przypadku wielomianu drugiego stopnia zastosowanie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego.

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Korzystając z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, w przypadku gdy w każdym wyrazie wielomianu występuje ten sam jednomian jako czynnik, możemy go wyłączyć przed nawias.

Przykład

$x^4-x^3=x^3(x-1)\\2x^5-10=2(x^5-5)\\2x^4-4x^2+6x=2x(x^2-2x+3)$

Grupowanie wyrazów

Ta metoda wymaga wprawy rachunkowej. Polega na kilkukrotnym korzystaniu z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania według schematu:

Przykład

Prześledźmy jeszcze inny przykład na poniższej animacji

Animacja

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

To zastosowanie wydaje się oczywiste. Oto kilka przykładów:

Przykład

$4x^2-4x+1=(2x)^2-2\cdot{2x+1}=(2x-1)^2\\x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\\x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$

Stosowanie twierdzenia Bezout

Przeanalizujmy ten przypadek na przykładzie.

Przykład

Rozłożymy na czynniki wielomian

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród dzielników wyrazu wolnego 12, czyli pośród liczb 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 i -4. wielomian jest stopnia czwartego, szukamy więc maksymalnie czterech pierwiastków.

$W(1)=1+2-7-8+12=0\\W(-1)=1-2-7+8+12=12\neq{0}\\W(2)=16+16-28-16+12=0\\W(-2)=16-16-28+16+12=0\\W(3)=81+54-63-24+12=60\neq{0}\\W(-3)=81-54-63+24+12=0$

Zatem

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Rozkład wielomianu na czynniki

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a)
b)
c) $W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2$
d)
na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a)
b)
na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Dodawanie i odejmowanie wielomianów
Na wielomianach możemy wykonywać dodawanie. Wielomian będący sumą redukujemy, dodając do siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy.

Mnożenie wielomianów
Mnożenie wielomianów, własności iloczynu wielomianów

Dzielenie wielomianów
Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych.

Test wiedzy