Strona główna » Matematyka » Rozkład wielomianu na czynniki

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki

Rozłożyć wielomian

na czynniki.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\\ W(1)=8-2-33+8+4=-15\neq 0 \\ W(-1)=8\cdot (-1)^4-2\cdot (-1)^3-33\cdot (-1)^2+8\cdot (-1)+4=\\ =8+2-33-8+4=-27\neq 0 \\ W(2)=8\cdot 2^4-2\cdot 2^3-33\cdot 2^2+8\cdot 2+4= \\ =8128-16-132+16+4=0 \\ W(-2)=8\cdot (-2)^4-2\cdot (-2)^3-33\cdot (-2)^2+8\cdot (-2)+4= \\ =128+16-132-16+4=0 \\ W(4)=8\cdot 4^4-2\cdot 4^3-33\cdot 4^2+8\cdot 4+4= \\ =2048-128-528+32+4=1428\neq 0 \\ W(-4)=8\cdot (-4)^4-2\cdot (-4)^3-33\cdot (-4)^2+8\cdot (-4)+4=\\ =2048+128-528-32+4\neq 0$

$(8x^4-2x^3-33x^2+8x+4):(x^2-4)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^4\ \ \ \ \ \ \ \ -32x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x^3-x^2+8x+4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-2x^3\ \ \ \ \ \ +8x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x^2+4}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

$8x^2-2x-1\\ \Delta=4+32=36\\ x_1=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4}\\ x_2=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}$
$8x^4-2x^3-33x^2+8x+4=8(x-2)(x+2)(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: 1, -1, 2, -2, 4, -4. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) jeśli W(a)=0. Sprawdźmy więc:

Zatem liczby 2 i -2 są pierwiastkami wielomianu. Zgodnie z twierdzenie Bezout, wielomian W(x) dzieli się więc przez x+2 oraz x-2. Wielomian ten dzieli się także przez iloczyn tych dwumianów (x-2)(x+2)=x²-4

$(8x^4-2x^3-33x^2+8x+4):(x^2-4)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^4\ \ \ \ \ \ \ \ -32x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x^3-x^2+8x+4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-2x^3\ \ \ \ \ \ +8x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x^2+4}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Możemy więc zapisać:

Rozłożymy jeszcze trójmian kwadratowy 8x²-2x-1 na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu:

$8x^2-2x-1\\ a=8\\ b=-2 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=4+32=36\\ \sqrt{\Delta}=6 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}\\ 8x^2-2x-1=8(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})$