logo

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki


Rozłożyć wielomian W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4 na czynniki.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\\ W(1)=8-2-33+8+4=-15\neq 0 \\ W(-1)=8\cdot (-1)^4-2\cdot (-1)^3-33\cdot (-1)^2+8\cdot (-1)+4=\\ =8+2-33-8+4=-27\neq 0 \\ W(2)=8\cdot 2^4-2\cdot 2^3-33\cdot 2^2+8\cdot 2+4= \\ =8128-16-132+16+4=0 \\ W(-2)=8\cdot (-2)^4-2\cdot (-2)^3-33\cdot (-2)^2+8\cdot (-2)+4= \\ =128+16-132-16+4=0 \\ W(4)=8\cdot 4^4-2\cdot 4^3-33\cdot 4^2+8\cdot 4+4= \\ =2048-128-528+32+4=1428\neq 0 \\ W(-4)=8\cdot (-4)^4-2\cdot (-4)^3-33\cdot (-4)^2+8\cdot (-4)+4=\\ =2048+128-528-32+4\neq 0

(8x^4-2x^3-33x^2+8x+4):(x^2-4)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^4\ \ \ \ \ \ \ \ -32x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x^3-x^2+8x+4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-2x^3\ \ \ \ \ \ +8x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x^2+4}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

W(x)=(x-2)(x+2)(8x^2-2x-1)

8x^2-2x-1\\ \Delta=4+32=36\\ x_1=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4}\\ x_2=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}
8x^4-2x^3-33x^2+8x+4=8(x-2)(x+2)(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: 1, -1, 2, -2, 4, -4. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) jeśli W(a)=0. Sprawdźmy więc:

W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\\ W(1)=8-2-33+8+4=-15\neq 0 \\ W(-1)=8\cdot (-1)^4-2\cdot (-1)^3-33\cdot (-1)^2+8\cdot (-1)+4=\\ =8+2-33-8+4=-27\neq 0 \\ W(2)=8\cdot 2^4-2\cdot 2^3-33\cdot 2^2+8\cdot 2+4= \\ =8128-16-132+16+4=0 \\ W(-2)=8\cdot (-2)^4-2\cdot (-2)^3-33\cdot (-2)^2+8\cdot (-2)+4= \\ =128+16-132-16+4=0 \\ W(4)=8\cdot 4^4-2\cdot 4^3-33\cdot 4^2+8\cdot 4+4= \\ =2048-128-528+32+4=1428\neq 0 \\ W(-4)=8\cdot (-4)^4-2\cdot (-4)^3-33\cdot (-4)^2+8\cdot (-4)+4=\\ =2048+128-528-32+4\neq 0 tło tło tło tło

Zatem liczby 2 i -2 są pierwiastkami wielomianu. Zgodnie z twierdzenie Bezout, wielomian W(x) dzieli się więc przez x+2 oraz x-2. Wielomian ten dzieli się także przez iloczyn tych dwumianów (x-2)(x+2)=x2-4

(8x^4-2x^3-33x^2+8x+4):(x^2-4)=8x^2-2x-1\\ \underline{8x^4\ \ \ \ \ \ \ \ -32x^2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ -2x^3-x^2+8x+4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-2x^3\ \ \ \ \ \ +8x}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+4 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-x^2+4}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc zapisać:

W(x)=(x-2)(x+2)(8x^2-2x-1)

Rozłożymy jeszcze trójmian kwadratowy 8x2-2x-1 na czynniki, obliczając wyróżnik trójmianu:

8x^2-2x-1\\ a=8\\ b=-2 \\ c=-1 \\ \Delta=b^2-4ac=4+32=36\\ \sqrt{\Delta}=6 \\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}\\ 8x^2-2x-1=8(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})

ksiązki Odpowiedź

8x^4-2x^3-33x^2+8x+4=8(x-2)(x+2)(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4})

© medianauka.pl, 2010-01-31, ZAD-563

Zadania podobne

kulkaZadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^6-50x^4
b) W(x)=x^8-1
c) W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2
d) W(x)=x^3-11x^2+35x-25
na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4
b) W(x)=-x^3+x^2+x-1
na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki urodzinowe
Kolorowe skarpetki Kostka
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
50 wielkich idei które powinieneś znać
Algebra
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.