Logo Media Nauka

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki

Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4
b) W(x)=-x^3+x^2+x-1
na czynniki metodą grupowania wyrazów.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)= \\ =(x^2-1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=
=2(x-1)(x+1)(x^3-2)=2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})

b) W(x)=-x^3+x^2+x-1=-x^2(x-1)+(x-1)=\\ =(x-1)(-x^2+1)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=\\ =-(x-1)(x-1)(x+1)= -(x-1)^2(x+1)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

W tym przypadku mamy skorzystać z metody grupowania wyrazów. Jeśli nie mamy wprawy w tego typu rachunkach, można metodą prób i błędów pogrupować wyrazy wielomianu po dwa i wyjąć przed nawias wspólny czynnik, jeśli otrzymamy w grupach w nawiasie ten sam czynnik, to możemy dalej dokonywać obliczeń.
Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik 2x3, w drugiej grupie liczbę -4:

W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1) tło tło

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania)

W(x)=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)=(x^2-1)(2x^3-4) tło

Pierwszy czynnik można rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Otrzymamy:

W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)

Ostatni nawias zawiera wyrażenie, które również można rozłożyć na czynniki z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia, wyjąwszy wcześniej liczbę 2 przed nawias.

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3)

Mamy więc:

W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)\cdot 2(x^3-2)=\\ =2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})[x^2+\sqrt[3]{2}x+(\sqrt[3]{2})^2]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}) tło tło

Podpunkt b)

Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik -x2, drugą grupę ująć tylko w nawias:

W(x)=-x^3+x^2+x-1=-x^2(x-1)+(x-1) tło tło

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania)

W(x)=-x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(-x^2+1) tło

W drugim nawiasie można wyjąć minus przed nawias i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Otrzymamy:

W(x)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=-(x-1)(x-1)(x+1)=\\ = -(x-1)^2(x+1)

tło Odpowiedź

a) 2x^5-2x^3-4x^2+4=2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})
b) -x^3+x^2+x-1=-(x-1)^2(x+1)

© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-560



Zadania podobne

kulkaZadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^6-50x^4
b) W(x)=x^8-1
c) W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2
d) W(x)=x^3-11x^2+35x-25
na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4 na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.