Nauka » Matematyka » Rozkład wielomianu na czynniki

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki

Rozłożyć wielomian:
a)

na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) $W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)= \\ =(x^2-1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=$
$=2(x-1)(x+1)(x^3-2)=2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})$

b) $W(x)=-x^3+x^2+x-1=-x^2(x-1)+(x-1)=\\ =(x-1)(-x^2+1)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=\\ =-(x-1)(x-1)(x+1)= -(x-1)^2(x+1)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

W tym przypadku mamy skorzystać z metody grupowania wyrazów. Jeśli nie mamy wprawy w tego typu rachunkach, można metodą prób i błędów pogrupować wyrazy wielomianu po dwa i wyjąć przed nawias wspólny czynnik, jeśli otrzymamy w grupach w nawiasie ten sam czynnik, to możemy dalej dokonywać obliczeń.
Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik 2x³, w drugiej grupie liczbę -4:

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania)

Pierwszy czynnik można rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

Otrzymamy:

Ostatni nawias zawiera wyrażenie, które również można rozłożyć na czynniki z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia, wyjąwszy wcześniej liczbę 2 przed nawias.

Mamy więc:

$W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)\cdot 2(x^3-2)=\\ =2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})[x^2+\sqrt[3]{2}x+(\sqrt[3]{2})^2]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})$ tło

Podpunkt b)

Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik -x², drugą grupę ująć tylko w nawias:

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania)

W drugim nawiasie można wyjąć minus przed nawias i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

Otrzymamy:

$W(x)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=-(x-1)(x-1)(x+1)=\\ = -(x-1)^2(x+1)$

Odpowiedź

a) $2x^5-2x^3-4x^2+4=2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})$
b)

Zadania podobne

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a)

c) $W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2$
d)

na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian

na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu

jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania