Nauka » Matematyka » Rozkład wielomianu na czynniki

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki

Rozłożyć wielomian:
a)

na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) $W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)= \\ =(x^2-1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=$
$=2(x-1)(x+1)(x^3-2)=2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})$

b) $W(x)=-x^3+x^2+x-1=-x^2(x-1)+(x-1)=\\ =(x-1)(-x^2+1)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=\\ =-(x-1)(x-1)(x+1)= -(x-1)^2(x+1)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

W tym przypadku mamy skorzystać z metody grupowania wyrazów. Jeśli nie mamy wprawy w tego typu rachunkach, można metodą prób i błędów pogrupować wyrazy wielomianu po dwa i wyjąć przed nawias wspólny czynnik, jeśli otrzymamy w grupach w nawiasie ten sam czynnik, to możemy dalej dokonywać obliczeń.
Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik 2x³, w drugiej grupie liczbę -4:

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania)

Pierwszy czynnik można rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

Otrzymamy:

Ostatni nawias zawiera wyrażenie, które również można rozłożyć na czynniki z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia, wyjąwszy wcześniej liczbę 2 przed nawias.

Mamy więc:

$W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)\cdot 2(x^3-2)=\\ =2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})[x^2+\sqrt[3]{2}x+(\sqrt[3]{2})^2]=\\ =2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})$ tło

Podpunkt b)

Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik -x², drugą grupę ująć tylko w nawias:

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania)