Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki

Rozwiązanie zadania

Podpunkt a)

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

W tym przypadku mamy skorzystać z metody grupowania wyrazów. Jeśli nie mamy wprawy w tego typu rachunkach, można metodą prób i błędów pogrupować wyrazy wielomianu po dwa i wyjąć przed nawias wspólny czynnik, jeśli otrzymamy w grupach w nawiasie ten sam czynnik, to możemy dalej dokonywać obliczeń. Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik \(2x^3\), w drugiej grupie liczbę \(-4\):

\(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)\)

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania).

\(W(x)=2x^3(x^2-1)-4(x^2-1)=(x^2-1)(2x^3-4)\)

Pierwszy czynnik można rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

Otrzymamy:

\(W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)\)

Ostatni nawias zawiera wyrażenie, które również można rozłożyć na czynniki z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia, wyjąwszy wcześniej liczbę 2 przed nawias.

Mamy więc:

\(W(x)=(x-1)(x+1)(2x^3-4)=(x-1)(x+1)\cdot 2(x^3-2)=\)

\(=2(x-1)(x+1)[x^3-(\sqrt[3]{2})^3]=\)

\(=2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})[x^2+\sqrt[3]{2}x+(\sqrt[3]{2})^2]=\)

\(=2(x-1)(x+1)(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4})\)

Podpunkt b)

Weźmy najpierw dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy. W pierwszej grupie można wyjąć przed nawias czynnik \(-x^2\), drugą grupę ująć tylko w nawias:

\(W(x)=-x^3+x^2+x-1=-x^2(x-1)+(x-1)\)

W każdej grupie otrzymaliśmy ten sam czynnik (zaznaczony na żółto). Możemy go wyjąć przed nawias (skorzystać z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania).

\(W(x)=-x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(-x^2+1)\)

W drugim nawiasie można wyjąć minus przed nawias i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

Otrzymamy:

\(W(x)=(x-1)\cdot (-1)(x^2-1)=-(x-1)(x-1)(x+1)=\)

\(= -(x-1)^2(x+1)\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-560

Zadania podobne

Rozłożyć na czynniki wielomian:

a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)

b) \(W(x)=x^8-1\)

c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)

d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)

Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez

A. \(x-3\)

B. \(x^2+9\)

C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)

D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)