Nauka » Matematyka » Rozkład wielomianu na czynniki

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu

jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozwiązanie zadania

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu jest równa 0. Mamy więc:

$1+a+b+c=0\\c=-1-a-b$

Nasz wielomian przyjmuje postać:

$W(x)=x^3+ax^2+bx+-1-a-b\\W(x)=x^3-1+ax^2-a+bx-b\\W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x^2-1)+b(x-1)\\W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x-1)(x+1)+b(x-1)\\W(x)=(x-1)(x^2+(a+1)x+a+b+1)$

Z pewnością liczba 1 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Z warunków zadania wynika, że pierwiastki naszego wielomianu tworzą ciąg geometryczny o różnicy 3. Mamy więc trzy możliwe przypadki takich ciągów:

(1,4,7), (-2,1,7), (-5,-2,1)

Przypadek 1) Analizujemy ciąg (1,4,7). Wówczas nasz wielomian możemy zapisać w postaci:

$W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)\\W(x)=(x^2-4x-x+4)(x-7)\\W(x)=(x^2-5x+4)(x-7)\\W(x)=x^3-7x^2-5x^2+35x+4x-28\\W(x)=x^3-12x^2+39x-28$

Porównując otrzymany wielomian z wzorem otrzymujemy:

a=-12, b=39, c=-28

Podobnie postępujemy w kolejnych przypadkach:

Przypadek 2) Analizujemy ciąg (-2,1,7).

$W(x)=(x+2)(x-1)(x-4)\\W(x)=(x^2-x+2x-2)(x-4)\\W(x)=(x^2+x-2)(x-4)\\W(x)=x^3-4x^2+x^2-4x-2x+8\\W(x)=x^3-3x^2-6x+8\\a=-3\\b=-6\\c=8$

Przypadek 3) Analizujemy ciąg (-5,-2,1).

$W(x)=(x+5)(x+2)(x-1)\\W(x)=(x^2+2x+5x+10)(x-1)\\W(x)=(x^2+7x+10)(x-1)\\W(x)=x^3-x^2+7x^2-7x+10x-10\\W(x)=x^3+6x^2+3x-10\\a=6\\b=3\\c=-10$

Otrzymaliśmy odpowiedź:

Odpowiedź

a=-12, b=39, c=-28 lub a=-3, b=-6, c=8 lub a=6, b=3, c=-10

Zadania podobne

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a)

c) $W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2$
d)

na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a)

na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian

na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.