Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa \(0\). Mamy więc:

\(1+a+b+c=0\)

\(c=-1-a-b"\)

Nasz wielomian przyjmuje postać:

\(W(x)=x^3+ax^2+bx+-1-a-b\)

\(W(x)=x^3-1+ax^2-a+bx-b\)

\(W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x^2-1)+b(x-1)\)

\(W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x-1)(x+1)+b(x-1)\)

\(W(x)=(x-1)(x^2+(a+1)x+a+b+1)\)

Z pewnością liczba \(1\) jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Z warunków zadania wynika, że pierwiastki naszego wielomianu tworzą ciąg geometryczny o różnicy \(3\). Mamy więc trzy możliwe przypadki takich ciągów:

\((1,4,7), (-2,1,7), (-5,-2,1)\)

Przypadek 1) Analizujemy ciąg \((1,4,7)\). Wówczas nasz wielomian możemy zapisać w postaci:

\(W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)\)

\(W(x)=(x^2-4x-x+4)(x-7)\)

\(W(x)=(x^2-5x+4)(x-7)\)

\(W(x)=x^3-7x^2-5x^2+35x+4x-28\)

W(x)=x^3-12x^2+39x-28\)

Porównując otrzymany wielomian z wzorem \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) otrzymujemy:

a=-12,\ b=39,\ c=-28

Podobnie postępujemy w kolejnych przypadkach:

Przypadek 2) Analizujemy ciąg \((-2,1,7)\).

\(W(x)=(x+2)(x-1)(x-4)\)

\(W(x)=(x^2-x+2x-2)(x-4)\)

\(W(x)=(x^2+x-2)(x-4)\)

\(W(x)=x^3-4x^2+x^2-4x-2x+8\)

\(W(x)=x^3-3x^2-6x+8\)

\(a=-3,\ b=-6,\ c=8\)

Przypadek 3) Analizujemy ciąg \((-5,-2,1)\).

\(W(x)=(x+5)(x+2)(x-1)\)\(W(x)=(x^2+2x+5x+10)(x-1)\)

\(W(x)=(x^2+7x+10)(x-1)\)

\(W(x)=x^3-x^2+7x^2-7x+10x-10\)

\(W(x)=x^3+6x^2+3x-10\)

\(a=6,\ b=3,\ c=-10\)

Otrzymaliśmy odpowiedź:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3373

Zadania podobne

Rozłożyć na czynniki wielomian:

a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)

b) \(W(x)=x^8-1\)

c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)

d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)

Rozłożyć wielomian:

a) \(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4\)

b) \(W(x)=-x^3+x^2+x-1\)

na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.

Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez

A. \(x-3\)

B. \(x^2+9\)

C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)

D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)