Nauka » Matematyka » Rozkład wielomianu na czynniki

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu

jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozwiązanie zadania

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu jest równa 0. Mamy więc:

$1+a+b+c=0\\c=-1-a-b$

Nasz wielomian przyjmuje postać:

$W(x)=x^3+ax^2+bx+-1-a-b\\W(x)=x^3-1+ax^2-a+bx-b\\W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x^2-1)+b(x-1)\\W(x)=(x-1)(x^2+x+1)+a(x-1)(x+1)+b(x-1)\\W(x)=(x-1)(x^2+(a+1)x+a+b+1)$

Z pewnością liczba 1 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Z warunków zadania wynika, że pierwiastki naszego wielomianu tworzą ciąg geometryczny o różnicy 3. Mamy więc trzy możliwe przypadki takich ciągów:

(1,4,7), (-2,1,7), (-5,-2,1)

Przypadek 1) Analizujemy ciąg (1,4,7). Wówczas nasz wielomian możemy zapisać w postaci:

$W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)\\W(x)=(x^2-4x-x+4)(x-7)\\W(x)=(x^2-5x+4)(x-7)\\W(x)=x^3-7x^2-5x^2+35x+4x-28\\W(x)=x^3-12x^2+39x-28$