Nauka » Matematyka » Rozkład wielomianu na czynniki

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki

Rozłożyć wielomian:
a)

c) $W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2$
d)

na czynniki.

Rozwiązanie zadania uproszczone

b) $W(x)=x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)=\\ =(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)= \\ =(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$

c) $W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2}{\sqrt{2}})=\\ =x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}})=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{\cancel{2}\sqrt{2}}{\cancel{2}})=\\ =x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\sqrt{2})=(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2})$

d) $W(x)=x^3-11x^2+35x-25\\ W(1)=1-11+35-25=0 \\ W(-1)=-1-11-35-25=-72\neq 0 \\ W(5)=125-275+175-25=0\\ W(5)=125-275-175-25\neq 0$

$(x-5)(x-1)=x^2-x-5x+5=x^2-6x+5\\ (x^3-11x^2+35x-25):(x^2-6x+5)=x-5\\ \underline{x^3-6x^2+5x}\\ \ \ \ \ \ \ -5x^2+30x-25\\ \ \ \ \ \ \ \underline{-5x^2+30x-25}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

W tym przypadku można wyjąć przed nawias czynnik 2x⁴ i otrzymujemy odpowiedź:

W ostatnim kroku zastosowano wzór skróconego mnożenia:

Podpunkt b)

W tym przypadku najlepiej skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (kolorem niebieskim w rachunkach zaznaczymy fragmenty, w których skorzystamy z tego wzoru):

Otrzymamy:

$W(x)=x^8-1=(x^4)^2-1=(x^4-1)(x^4+1)=\\ =[(x^2)^2-1](x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)= \\ =(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$ tło

Jednomian x²+1 oraz x⁴+1 już się nie rozkładają na czynniki (nie mają pierwiastków). Gdyby jednomiany miały pierwiastki, to kwadrat tej liczby i czwarta potęga musiałyby być ujemne, aby cała wartość jednomianów była równa zeru, a to niemożliwe. Można się też o tym przekonać, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego w przypadku pierwszego jednomianu (wyróżnik jest ujemny), a w przypadku drugiego jednomianu zastosować podstawienie x²=t i również obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego, który okaże się też ujemny.

Podpunkt c)

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: 1, -1, 2, -2 nie da efektu. Spróbujemy pogrupować wyrazy.

$W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2}{\sqrt{2}})=\\ =x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}})=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{\cancel{2}\sqrt{2}}{\cancel{2}})=\\ =x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\sqrt{2})=(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2})$ tło

Dwumian w ostatnim nawiasie już się dalej nie rozkłada na czynniki. Dla pewności można policzyć wyróżnik: $\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot \sqrt{2}< 0$

Podpunkt d)

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: 1, -1, 5, -5

$W(x)=x^3-11x^2+35x-25\\ W(1)=1-11+35-25=0 \\ W(-1)=-1-11-35-25=-72\neq 0 \\ W(5)=125-275+175-25=0\\ W(5)=125-275-175-25\neq 0$

Mamy więc dwa pierwiastki: 1 i 5. Zgodnie z twierdzeniem Bezout wielomian dzieli się więc bez reszty przez (x-1)(x-5)

$(x-5)(x-1)=x^2-x-5x+5=x^2-6x+5\\ (x^3-11x^2+35x-25):(x^2-6x+5)=x-5\\ \underline{x^3-6x^2+5x}\\ \ \ \ \ \ \ -5x^2+30x-25\\ \ \ \ \ \ \ \underline{-5x^2+30x-25}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0$

Możemy więc zapisać :

Odpowiedź

a) Odpowiedź znajdziesz wyżej
b)

c) $W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2=(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2})$
d)

Zadania podobne

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian:
a)

na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożyć wielomian

na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu

jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.