Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - rozkład wielomianu na czynniki


Rozłożyć wielomian:
a) W(x)=2x^6-50x^4
b) W(x)=x^8-1
c) W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2
d) W(x)=x^3-11x^2+35x-25
na czynniki.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) W(x)=2x^6-50x^4=2x^4(x^2-25)=2x^4(x-5)(x+5)

b) W(x)=x^8-1=(x^4-1)(x^4+1)=\\ =(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)= \\ =(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)

c) W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2}{\sqrt{2}})=\\ =x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}})=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{\cancel{2}\sqrt{2}}{\cancel{2}})=\\ =x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\sqrt{2})=(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2})

d) W(x)=x^3-11x^2+35x-25\\ W(1)=1-11+35-25=0 \\ W(-1)=-1-11-35-25=-72\neq 0 \\ W(5)=125-275+175-25=0\\ W(5)=125-275-175-25\neq 0

(x-5)(x-1)=x^2-x-5x+5=x^2-6x+5\\ (x^3-11x^2+35x-25):(x^2-6x+5)=x-5\\ \underline{x^3-6x^2+5x}\\ \ \ \ \ \ \ -5x^2+30x-25\\ \ \ \ \ \ \ \underline{-5x^2+30x-25}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

W(x)=x^3-11x^2+35x-25=(x-1)(x-5)^2

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Podpunkt a)

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej

W tym przypadku można wyjąć przed nawias czynnik 2x4 i otrzymujemy odpowiedź:

W(x)=2x^6-50x^4=2x^4(x^2-25)=2x^4(x-5)(x+5)

W ostatnim kroku zastosowano wzór skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Podpunkt b)

W tym przypadku najlepiej skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (kolorem niebieskim w rachunkach zaznaczymy fragmenty, w których skorzystamy z tego wzoru):

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Otrzymamy:

W(x)=x^8-1=(x^4)^2-1=(x^4-1)(x^4+1)=\\ =[(x^2)^2-1](x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)= \\ =(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) tło tło tło

Jednomian x2+1 oraz x4+1 już się nie rozkładają na czynniki (nie mają pierwiastków). Gdyby jednomiany miały pierwiastki, to kwadrat tej liczby i czwarta potęga musiałyby być ujemne, aby cała wartość jednomianów była równa zeru, a to niemożliwe. Można się też o tym przekonać, obliczając wyróżnik trójmianu kwadratowego w przypadku pierwszego jednomianu (wyróżnik jest ujemny), a w przypadku drugiego jednomianu zastosować podstawienie x2=t i również obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego, który okaże się też ujemny.

Podpunkt c)

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: 1, -1, 2, -2 nie da efektu. Spróbujemy pogrupować wyrazy.

W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2}{\sqrt{2}})=\\ =x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}})=x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\frac{\cancel{2}\sqrt{2}}{\cancel{2}})=\\ =x^2(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(x-\sqrt{2})=(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2}) tło tło tło

Dwumian w ostatnim nawiasie już się dalej nie rozkłada na czynniki. Dla pewności można policzyć wyróżnik: \Delta=b^2-4ac=0-4\cdot \sqrt{2}< 0

Podpunkt d)

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: 1, -1, 5, -5

W(x)=x^3-11x^2+35x-25\\ W(1)=1-11+35-25=0 \\ W(-1)=-1-11-35-25=-72\neq 0 \\ W(5)=125-275+175-25=0\\ W(5)=125-275-175-25\neq 0

Mamy więc dwa pierwiastki: 1 i 5. Zgodnie z twierdzeniem Bezout wielomian dzieli się więc bez reszty przez (x-1)(x-5)

(x-5)(x-1)=x^2-x-5x+5=x^2-6x+5\\ (x^3-11x^2+35x-25):(x^2-6x+5)=x-5\\ \underline{x^3-6x^2+5x}\\ \ \ \ \ \ \ -5x^2+30x-25\\ \ \ \ \ \ \ \underline{-5x^2+30x-25}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=0

Możemy więc zapisać W(x)=x^3-11x^2+35x-25=(x-1)(x-5)^2:

W(x)=x^3-11x^2+35x-25=(x-1)(x-5)^2

ksiązki Odpowiedź

a) Odpowiedź znajdziesz wyżej
b) x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)
c) W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2=(x-\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2})
d)
W(x)=x^3-11x^2+35x-25=(x-1)(x-5)^2

© medianauka.pl, 2010-01-30, ZAD-559





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.