Mnożenie wielomianów
Wielomiany możemy przez siebie mnożyć. Aby uzyskać iloczyn wielomianów, mnożymy każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz kolejnego wielomianu,
a następnie redukujemy jednomiany podobne i porządkujemy wszystkie wyrazy od jednomianu o najwyższym stopniu do wyrazu wolnego.
Przykład
Dane są dwa wielomiany:
Tworzymy iloczyn wielomianów:
Zauważmy, że stopień iloczynu C(x) jest równy 5, natomiast stopień kolejnych składników iloczynu odpowiednio 2 i 3. Warto zapamiętać, że:
Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie stopni składników.
Twierdzenie: Postać iloczynowa wielomianu
Jeżeli wielomian gdzie
ma n miejsc zerowych (pierwiastków),
, to
Jest to tak zwana postać iloczynowa wielomianu. Przykład
Wielomian ma trzy pierwiastki: 0,1 i -2.
Zwróćmy uwagę, że stopień rozpatrywanego wielomianu jest równy 3. Możemy więc zapisać zgodnie z powyższym twierdzeniem:
Możemy również w ten sposób znajdować postać wielomianu o zadanych miejscach zerowych.
Przykład
Znajdziemy wielomian o dwóch miejscach zerowych: -5 i 8.
Korzystamy z powyższego twierdzenia, na podstawie którego przykładem takiego wielomianu może być:
Przyjęliśmy tutaj milcząco, że an=1. Oczywiście możemy przyjąć dowolnie inną wartość.
Warto jeszcze zapamiętać treść twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki. Oto ono:
Twierdzenie
Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.
© medianauka.pl, 2009-08-17, ART-283
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Mnożenie wielomianów
Zadanie - postać iloczynowa wielomianu
Wielomian W(x) dla ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie x=1 jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?
Zadanie - iloczyn wielomianów
Wykonać mnożenie:
a)
b) i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej x.
Inne zagadnienia z tej lekcji

Na wielomianach możemy wykonywać dodawanie. Wielomian będący sumą redukujemy, dodając do siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy.

Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych.

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.