Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Mnożenie (iloczyn) wielomianów

Teoria Wielomiany możemy przez siebie mnożyć. Aby uzyskać iloczyn wielomianów, mnożymy każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz kolejnego wielomianu, a następnie redukujemy jednomiany podobne i porządkujemy wszystkie wyrazy od jednomianu o najwyższym stopniu do wyrazu wolnego.

Przykład Przykład

Dane są dwa wielomiany:

A(x)=2x^2-x\\B(x)=x^3+x-1

Tworzymy iloczyn wielomianów:

C(x)=A(x)\cdot{B(x)}=(2x^2-x)\cdot(x^3+x-1)=\\=2x^5+2x^3-2x^2-x^4-x^2+x=2x^5-x^4+2x^3-3x^2+x

Zauważmy, że stopień iloczynu C(x) jest równy 5, natomiast stopień kolejnych składników iloczynu odpowiednio 2 i 3. Warto zapamiętać, że:

Teoria Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie stopni składników.

twierdzenie Twierdzenie: Postać iloczynowa wielomianu

Jeżeli wielomian W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0 gdzie a_n\neq{0}ma n miejsc zerowych (pierwiastków), x_1,x_2,...,x_n, to W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)
Jest to tak zwana postać iloczynowa wielomianu.

Przykład Przykład

Wielomian W(x)=2x^3+2x^2-4x ma trzy pierwiastki: 0,1 i -2.
Zwróćmy uwagę, że stopień rozpatrywanego wielomianu jest równy 3. Możemy więc zapisać zgodnie z powyższym twierdzeniem:
W(x)=2(x-1)(x+2)(x-0)=2x(x-1)(x+2)

Możemy również w ten sposób znajdować postać wielomianu o zadanych miejscach zerowych.

Przykład Przykład

Znajdziemy wielomian o dwóch miejscach zerowych: -5 i 8.
Korzystamy z powyższego twierdzenia, na podstawie którego przykładem takiego wielomianu może być:
W(x)=(x+5)(x-8)=x^2-8x+5x-40=x^2-3x-40
Przyjęliśmy tutaj milcząco, że an=1. Oczywiście możemy przyjąć dowolnie inną wartość.

Warto jeszcze zapamiętać treść twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki. Oto ono:

Twierdzenie Twierdzenie

Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.


© medianauka.pl, 2009-08-17, ART-283






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - postać iloczynowa wielomianu
Wielomian W(x) dla x_1=-5, \ x_2=5 ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie x=1 jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?

zadanie-ikonka Zadanie - iloczyn wielomianów
Wykonać mnożenie:
a) (3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)
b) [(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1] i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej x.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.