Mnożenie wielomianów

Wielomiany możemy przez siebie mnożyć. Aby uzyskać iloczyn wielomianów, mnożymy każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz kolejnego wielomianu, a następnie redukujemy jednomiany podobne i porządkujemy wszystkie wyrazy od jednomianu o najwyższym stopniu do wyrazu wolnego.

Przykład

Dane są dwa wielomiany:

$A(x)=2x^2-x\\B(x)=x^3+x-1$

Tworzymy iloczyn wielomianów:

$C(x)=A(x)\cdot{B(x)}=(2x^2-x)\cdot(x^3+x-1)=\\=2x^5+2x^3-2x^2-x^4-x^2+x=2x^5-x^4+2x^3-3x^2+x$

Zauważmy, że stopień iloczynu C(x) jest równy 5, natomiast stopień kolejnych składników iloczynu odpowiednio 2 i 3. Warto zapamiętać, że:

Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie stopni składników.

Twierdzenie: Postać iloczynowa wielomianu

Jeżeli wielomian $W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ gdzie $a_n\neq{0}$ ma n miejsc zerowych (pierwiastków), , to
Jest to tak zwana postać iloczynowa wielomianu.

Przykład

Wielomian ma trzy pierwiastki: 0,1 i -2.
Zwróćmy uwagę, że stopień rozpatrywanego wielomianu jest równy 3. Możemy więc zapisać zgodnie z powyższym twierdzeniem:

Możemy również w ten sposób znajdować postać wielomianu o zadanych miejscach zerowych.

Przykład

Znajdziemy wielomian o dwóch miejscach zerowych: -5 i 8.
Korzystamy z powyższego twierdzenia, na podstawie którego przykładem takiego wielomianu może być:

Przyjęliśmy tutaj milcząco, że a_n=1. Oczywiście możemy przyjąć dowolnie inną wartość.

Warto jeszcze zapamiętać treść twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki. Oto ono:

Twierdzenie

Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Mnożenie wielomianów

Zadanie - postać iloczynowa wielomianu
Wielomian W(x) dla $x_1=-5, \ x_2=5$ ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie x=1 jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn wielomianów
Wykonać mnożenie:
a)
b) i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej x.

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Dodawanie i odejmowanie wielomianów
Na wielomianach możemy wykonywać dodawanie. Wielomian będący sumą redukujemy, dodając do siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy.

Dzielenie wielomianów
Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych.

Rozkład wielomianu na czynniki
Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

Test wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.