Logo Media Nauka

Facebook

Mnożenie wielomianów

Teoria Wielomiany możemy przez siebie mnożyć. Aby uzyskać iloczyn wielomianów, mnożymy każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz kolejnego wielomianu, a następnie redukujemy jednomiany podobne i porządkujemy wszystkie wyrazy od jednomianu o najwyższym stopniu do wyrazu wolnego.

Przykład Przykład

Dane są dwa wielomiany:

A(x)=2x^2-x\\B(x)=x^3+x-1

Tworzymy iloczyn wielomianów:

C(x)=A(x)\cdot{B(x)}=(2x^2-x)\cdot(x^3+x-1)=\\=2x^5+2x^3-2x^2-x^4-x^2+x=2x^5-x^4+2x^3-3x^2+x

Zauważmy, że stopień iloczynu C(x) jest równy 5, natomiast stopień kolejnych składników iloczynu odpowiednio 2 i 3. Warto zapamiętać, że:

Teoria Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie stopni składników.

twierdzenie Twierdzenie: Postać iloczynowa wielomianu

Jeżeli wielomian W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0 gdzie a_n\neq{0}ma n miejsc zerowych (pierwiastków), x_1,x_2,...,x_n, to W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)
Jest to tak zwana postać iloczynowa wielomianu.

Przykład Przykład

Wielomian W(x)=2x^3+2x^2-4x ma trzy pierwiastki: 0,1 i -2.
Zwróćmy uwagę, że stopień rozpatrywanego wielomianu jest równy 3. Możemy więc zapisać zgodnie z powyższym twierdzeniem:
W(x)=2(x-1)(x+2)(x-0)=2x(x-1)(x+2)

Możemy również w ten sposób znajdować postać wielomianu o zadanych miejscach zerowych.

Przykład Przykład

Znajdziemy wielomian o dwóch miejscach zerowych: -5 i 8.
Korzystamy z powyższego twierdzenia, na podstawie którego przykładem takiego wielomianu może być:
W(x)=(x+5)(x-8)=x^2-8x+5x-40=x^2-3x-40
Przyjęliśmy tutaj milcząco, że an=1. Oczywiście możemy przyjąć dowolnie inną wartość.

Warto jeszcze zapamiętać treść twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki. Oto ono:

Twierdzenie Twierdzenie

Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.


© medianauka.pl, 2009-08-17, ART-283


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Mnożenie wielomianów

zadanie-ikonka Zadanie - postać iloczynowa wielomianu
Wielomian W(x) dla x_1=-5, \ x_2=5 ma taką samą wartość, równą zeru. Jaka jest postać iloczynowa tego wielomianu, jeżeli jego wartość w punkcie x=1 jest równa 24 i wiadomo, że wielomian ma 3 pierwiastki?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - iloczyn wielomianów
Wykonać mnożenie:
a) (3x^3-x^2+2)(2x^2+x-1)
b) [(a+1)x^2-x+a][x^2-(a+1)x+1] i uporządkować oraz zredukować wynik względem zmiennej x.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Dodawanie i odejmowanie wielomianówDodawanie i odejmowanie wielomianów
Na wielomianach możemy wykonywać dodawanie. Wielomian będący sumą redukujemy, dodając do siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy.
Dzielenie wielomianówDzielenie wielomianów
Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych.
Rozkład wielomianu na czynnikiRozkład wielomianu na czynniki
Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.







Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Rodzinna matematyka
kolorowe skarpetki matematyka
Kubek matematyka pi
kolorowe skarpetki góra lodowa
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.