Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Na wielomianach możemy wykonywać działania dodawania i odejmowania. Wielomian będący sumą lub różnicą redukujemy dodając do siebie lub odejmując od siebie jednomiany podobne, a następnie porządkujemy wszystkie wyrazy od jednomianu o najwyższym stopniu.

Przykłady

Dane są dwa wielomiany:

$A(x)=4x^3-2x^2+5\\B(x)=x^4+2x^2+5x-1$

Tworzymy sumę wielomianów

$C(x)=A(x)+B(x)=\\=x^4+4x^3-2x^2+2x^2+5x+5-1=x^4+4x^3+5x+4$

oraz różnicę wielomianów

$D(x)=A(x)-B(x)=\\=4x^3-2x^2+5-(x^4+2x^2+5x-1)=-x^4+4x^3-4x^2-5x+6\\E(x)=B(x)-A(x)=\\=x^4+2x^2+5x-1-(4x^3-2x^2+5)=x^4-4x^3+4x^2+5x-6$

Własności sumy wielomianów

Stopień niezerowej sumy (różnicy) dwóch wielomianów niezerowych jest nie większy niż stopień składników sumy (różnicy).

Oznacza to, że nie można otrzymać przy wykonywaniu tych działań w wyniku wielomianu o większym stopniu niż stopień każdego ze składników, ale w wyniku redukcji jednomianów podobnych można uzyskać stopień niższy wyniku działania.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dane są wielomiany:
$A(x)=ax^3-(a+1)^2(x-1)^2+ax+5a-7 \\ B(x)=ax^4+(a-1)^2(x+1)^2-(a+1)x+7a+8$
Znaleźć sumę wielomianów A(x)+B(x) oraz różnicę A(x)-B(x).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dla jakich wartości parametrów a, b i c suma wielomianów
$A(x)=ax^3+(b-1)x^2+x-c^2-2c+1 \\ B(x)=(a-2)x^3-(2b+1)x^2-x+c^2+c-1$
jest równa jednomianowi zerowemu?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów, własności iloczynu wielomianów

Dzielenie wielomianów

Wielomiany możemy dzielić przez siebie. Dość często wykonujemy w matematyce to działanie przy okazji rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych.

Rozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.