Nauka » Matematyka » Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Zadanie - suma wielomianów z parametrem

Dla jakich wartości parametrów a, b i c suma wielomianów
$A(x)=ax^3+(b-1)x^2+x-c^2-2c+1 \\ B(x)=(a-2)x^3-(2b+1)x^2-x+c^2+c-1$
jest równa jednomianowi zerowemu?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a=-(a-2)\\ a=-a+2 \\ 2a=2/:2 \\ a=1$

$b-1=-[-(2b+1)]\\ b-1=2b+1 \\ -b=2/:(-1) \\ b=-2$

$-c^2-2c+1=-(c^2+c-1) \\ -c^2-2c+1=-c^2-c+1 \\ -\cancel{c^2}+\cancel{c^2}-2c+c=0 \\ -c=0 \\ c=0$

$a=1, \ b=-2, \ c=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Suma wielomianów będzie równa jednomianowi zerowemu, jeśli odpowiednie współczynniki wielomianu (przy jednomianach o tym samym stopniu) i wyraz wolny są przeciwne. Współczynniki przy x³ w obu wielomianach powinny być przeciwne:

$a=-(a-2)\\ a=-a+2 \\ 2a=2/:2 \\ a=1$

Podobnie współczynniki przy x² muszą być przeciwne:

$b-1=-[-(2b+1)]\\ b-1=2b+1 \\ -b=2/:(-1) \\ b=-2$

Współczynniki przy x są przeciwne (-1 i 1), pozostaje jeszcze wyraz wolny:

$-c^2-2c+1=-(c^2+c-1) \\ -c^2-2c+1=-c^2-c+1 \\ -\cancel{c^2}+\cancel{c^2}-2c+c=0 \\ -c=0 \\ c=0$

Możemy jeszcze sprawdzić poprawność obliczeń, podstawiając za parametry a, b, c wyznaczone liczby.

$A(x)=ax^3+(b-1)x^2+x-c^2-2c+1=x^3-3x^2+x+1 \\ B(x)=(a-2)x^3-(2b+1)x^2-x+c^2+c-1=-x^3+3x-x-1\\ A(x)+B(x)=0$