Strona główna » Matematyka » Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Zadanie - suma i różnica wielomianów

Dane są wielomiany:
$A(x)=ax^3-(a+1)^2(x-1)^2+ax+5a-7 \\ B(x)=ax^4+(a-1)^2(x+1)^2-(a+1)x+7a+8$
Znaleźć sumę wielomianów A(x)+B(x) oraz różnicę A(x)-B(x).

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzimy oba wielomiany do postaci zredukowanej i uporządkowanej. Zaczniemy od wielomianu A(x), korzystając przy tym ze wzorów skróconego mnożenia:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$A(x)=ax^3-(a+1)^2(x-1)^2+ax+5a-7= \\ =ax^3-(a^2+2a+1)(x^2-2x+1)+ax+5a-7= \\ =ax^3-(a^2x^2-2a^2x+a^2+2ax^2-4ax+2a+x^2-2x+1)+\\ +ax+5a-7= \\ =ax^3-a^2x^2+2a^2x-a^2-2ax^2+4ax-2a-x^2+2x-1+\\ +ax+5a-7=\\ =ax^3+(-a^2-2a-1)x^2+(2a^2+5a+2)x-a^2+3a-8$

Redukujemy i porządkujemy wielomian B(x):

$B(x)=ax^4+(a-1)^2(x+1)^2-(a+1)x+7a+8= \\ =ax^4+(a^2-2a+1)(x^2+2x+1)-ax-x+7a+8=\\ =ax^4+a^2x^2+2a^2x+a^2-2ax^2-4ax-2a+x^2+2x+1+\\ -ax-x+7a+8=\\ = ax^4+(a^2-2a+1)x^2+(2a^2-5a+1)x+a^2+5a+9$

Obliczamy sumę wielomianów dodając do siebie współczynniki przy zmiennej x o tej samej potędze a następnie redukując wyrazy podobne.

$A(x)+B(x)=ax^3+(-a^2-2a-1)x^2+(2a^2+5a+2)x-a^2+\\ +3a-8+ax^4+(a^2-2a+1)x^2+(2a^2-5a+1)x+a^2+5a+9=\\ =ax^4+ax^3+(-a^2-2a-1+a^2-2a+1)x^2+\\+(2a^2+5a+2+2a^2-5a+1)x-a^2+3a-8+a^2+5a+9=\\ =ax^4+ax^3-4ax^2+(4a^2+3)x+8a+1$

W podobny sposób obliczamy różnicę wielomianów.

Obliczamy sumę wielomianów dodając do siebie współczynniki przy zmiennej x o tej samej potędze a następnie redukując wyrazy podobne.

$A(x)-B(x)=ax^3+(-a^2-2a-1)x^2+(2a^2+5a+2)x-a^2+\\ +3a-8-ax^4-(a^2-2a+1)x^2-(2a^2-5a+1)x-a^2-5a-9=\\ =-ax^4+ax^3+(-a^2-2a-1-a^2+2a-1)x^2+\\+(2a^2+5a+2-2a^2+5a-1)x-a^2+3a-8-a^2-5a-9=\\ =-ax^4+ax^3+(-2a^2-2)x^2+(10a+1)x-2a^2-2a-17$